−a

0

x

1

t

1

1

x

2

F (x)= ∫p(t)dt + ∫p(t)dt + ∫

1

−

dt =

+

a

2

a

x −

2a

.

−∞

−a

0

a

При x > a , получаем F (x) =1.

Таким образом, получено

0,

при x ≤ -a;

1

x2

1

1

x

+

, при-a < x ≤ 0;

x +

p(x)=

1−

, при x [− a,a]

, F (x)=

a

2a

2

a

a

x

2

при x [− a,a]

1

1

+

< x

≤ a;

0,

x −

, при0

2

a

2a

при x > a.

1,

ной величины η = f (ξ)

имеет вид:

η

f (x1 )

f (x2 )

…

f (xn )

P

p1

p2

…

pn

ξ

-2

-1

0

1

2

P

0,1

0,2

0,3

0,3

0,1

ξ

2

1

0

1

2

P

0,1

0,2

0,3

0,3

0,1

η

0

1

2

P

0,3

0,5

0,2

Fη (y)= P(η < y)= P(f (x)< y)=

∫pξ (x)dx .

(5.5.1)

f ( x )<y

Пример 10. Пусть случайная величина ξ имеет плотность

pξ (x)=

1

e−

x2

2

.

2π

Найти распределение случайной величины η = ξ 2 .

Решение. В данном случае y = f (x) = x2 . Согласно (5.5.1), получим

Fη (y)= ∫

1

e−

x2

2

dx .

2π

x2 <y

Очевидно,

что при y < 0 , функция распределения равна нулю, т.е. Fη ( y ) = 0 . При

y > 0 область (x2

< y)совпадает с областью (−

y < x < y ). Отсюда получаем

y

x2

y

x2

y

−

t

Fη (y)=

1

∫e−

dx =

2

∫e−

dx =

1

∫

e

2

dt . z

2

2

2π

2π

− y

0

2π 0

t

pη (y)= pξ (ψ(y))

′

,

(5.5.2)

ψ (y)

где ψ — функция, обратная по отношению к функции f (x) .

Доказательство. Пусть f (x) — монотонно возрастающая функция. Тогда

Fη (y)= P(η < y)= P(f (ξ)< y)= P(ξ < f −1 (y))= P(ξ <ψ(y))= Fξ (ψ (y)).

Продифференцировав последнее равенство, получаем

pη (y)=

d

(Fη (y))=

d

(Fξ (ψ(y)))= pξ (ψ(y))ψ(y).

(5.5.3)

dy

dy

Пусть f (x) — монотонно убывающая функция. В этом случае

′

и, следова-

f (x)< 0

′

d

−1

тельно, ψ

(y)= dy f

(y)< 0 . Отсюда получаем:

pη (y)=

d

(Fη (y))=

d

(Fξ (ψ(y)))= −pξ (ψ(y))ψ(y).

(5.5.4)

dy

dy

Решение. Функция y = sin x

−

π

;

π

в интервале

2

2

монотонна, следовательно,

Плотность

случай-

1

−π

π

ной величины ξ

,

если x

2

;

;

pξ (x)

π

2

−π

π

0,

;

если x

.

2

2

Функциональная за-

висимость

между

y = f (x)

y = sin(x)

случайными величи-

нами ξ и η

Обратная функция

x =ψ(y)

x = arcsin(y)

Модуль производной

′

1

обратной функции

ψ (y)

1− y2

Плотность

случай-

1

1

, если

y (−1;1);

ной величины η

pη (y)= pξ (ψ(y))

ψ (y)

π

1

− y

2

′

0,

если

y (−1;1).

Интервал (−1;1), в котором лежат значения случайной величины η , определяется

областью значений функции

y = sin(x)

−

π

;

π

для x

2

2

. z

k

pη (y)= ∑pξ (ψi (y))ψi′(y),

(5.5.5)

Пример 12.

Случайная величина

ξ

распределена

равномерно

в

интервале

π

;

π

−

2

. Найти плотность распределения случайной величины η = cosξ .

2

Решение.

Функция

y = cos x

−

π

;

π

немонотонная в интервале

2

2

, ее значения

лежат в интервале (0,1). В данном случае для любого y

обратная функция будет иметь

два значения:

Плотность

случай-

1

,

если x

−π

π

ной величины ξ

2

;

;

pξ (x)

π

2

−π

π

0,

если x

;

.

2

2

Функциональная за-

висимость

между

y = f (x)

y = cos(x)

случайными величи-

нами ξ и η .

Обратная функция

x

=

ψ

(y),

x

= arccos(y),

1

(y).

x

1

= −arccos(y).

ψ

2

2

Модуль производной

′

1

обратной функции

ψ (y)

1− y 2

Плотность

случай-

2

2

, при y (0,1);

ной величины η

π

pη (y)= ∑pξ (ψi (y))

ψi′(y)

1− y 2

i=1

0,

при y (0,1).

2

1

1

1

1

2

pη (y)= ∑pξ

(ψi (y))

ψi′(y)

=

+

=

. z

π 1− y 2

π 1− y 2

π 1− y 2

i=1