Естественно, можно было бы обойтись и без таблицы. Например:

P(ξ +η =1)= P([(ξ = −1)∩(η = 2)] [(ξ = 0)∩(η =1)] [(ξ =1)∩(η = 0)])=

= P(ξ = −1)P(η = 2)+ P(ξ = 0)P(η =1)+ P(ξ =1)P(η = 0)= 14 13 + 14 12 + 12 16 =

§3. Дисперсия. Моменты высших порядков

Определение. Моментом k-го порядка называется выражение, вычисляемое по формулам:

а) для дискретной случайной величины:

−∞

Для существования момента к-ого порядка необходимо:

а) для дискретной случайной величины — абсолютная сходимость ряда

ществование момента (к-1)-го порядка и, следовательно, всех моментов меньших порядков.

Определение. Момент k-го порядка величины ξ0 = ξ − Mξ называется централь-

ным моментом k-го порядка.

Особую роль играет второй центральный момент, который называется дисперсией и обозначается Dξ .

Определение. Дисперсией случайной величины ξ называется математическое

ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания:

46

Свойства дисперсии.

1.Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е.

DC = M (C − MC)2 = M (C −C)2 = M 0 = 0 .

2.Дисперсия является неотрицательной величиной, т.е. Dξ ≥ 0 .

3.Для любых действительных чисел a и b справедливо равенство

D(aξ +b)= a2 Dξ +b .

Доказательство. Из свойства 2 математического ожидания получаем:

D(aξ +b)= M (aξ +b − M (aξ +b))2 = M (aξ +b − aMξ −b)2 = = M (aξ − aMξ)2 = a2 M (ξ − Mξ)2 = a2 Dξ .

4. Dξ = Mξ 2 −(Mξ)2 .

Доказательство. Используя определение дисперсии и свойства 2 и 3 математического ожидания, получаем:

Dξ = M (ξ − Mξ)2 = M (ξ 2 − 2ξ Mξ + (Mξ)2 )= Mξ 2 − M (2ξ Mξ)+ M ((Mξ)2 )=

= Mξ 2 − 2(Mξ)2 + (Mξ)2 = Mξ 2 −(Mξ)2 .

5. Если ξ и η независимые случайные величины, дисперсия суммы случайных ве-

личин равна сумме дисперсий случайных величин, т.е.

D(ξ +η)= Dξ + Dη .

Доказательство. Если ξ и η независимые случайные величины, то и случайные

величины ξ0 = ξ − Mξ и η0 =η − Mη будут независимыми. Тогда, используя свойства 2-4

математического ожидания, получаем:

D(ξ +η)= M (ξ +η − M (ξ +η))2 = M ((ξ − Mξ)+ (η − Mη))2 = M (ξ − Mξ)2 +

+2M ((ξ − Mξ)(η − Mη))+ M (η − Mη)2 = Dξ + 2M (ξ − Mξ)M (η − Mη)+ Dη =

=Dξ + Dη.

Очевидно, что дисперсия Dξ имеет размерность квадрата случайной величины ξ .

Для практических же целей удобно иметь числовую характеристику, размерность которой совпадает с размерностью ξ .

Определение. Средним квадратичным отклонением случайной величины ξ на-

зывается выражение, вычисляемое по формуле:

Пример 12. Найти дисперсию случайной величины ξ , плотность которой имеет вид (равномерно распределенной на отрезке [a,b]):

Решение. Используя определение дисперсии Dξ = M (ξ − Mξ)2 , формулу для

вычисления дисперсии непрерывной случайной величины (6.3.2) и результат примера 4, получаем:

47

Решение. Используя определение дисперсии Dξ = M (ξ − Mξ)2 , формулу для

вычисления дисперсии непрерывной случайной величины (6.3.2) и результат примера 5, получаем:

48