p2 =1−(1− pn )2 = pn (2 − pn ).

Сравним p1 и p2 , для этого нужно сравнить (2 − p)n и (2 − pn ). Докажем, что (2 − p)n > (2 − pn ).

Подставим q = 1 − p , т.е. p = 1 − q.

(1+ q)n > 2 −(1− q)n , (1+ q)n + (1− q)n > 2.

Далее достаточно раскрыть скобки.

Таким образом, надежнее дублирование каждого элемента. z

§3. Независимость событий

Определение. События A и B называются независимыми, если условная вероят-

Очевидно, что данные два определения равносильны.

Пример 7. Пусть события A и B независимы. Доказать, что независимыми явля-

= 1− P(A)− P−(B()+)Р(А)Р(В) =1− P(A)= P(A), т.е. P(A B)= P(A); 1 P B

P(A B)=1− P(A B)=1− P(A)= P(A), т.е. P(A B)= P(A). z

Пример 8. Зависимы или независимы несовместные события.

Решение. Пусть события A и B несовместные, т.е. A ∩ B = , причем

P( B ) ≠ 0 . Тогда P(A B)= 0 , т.к. события не пересекаются. Следовательно A и B зависи-

мы.

Таким образом, несовместные события зависимы. z

Пример 9. Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна карта. Рассматриваются следующие события:

A — появление туза;

B— появление карты красной масти;

C— появление бубнового туза.

Зависимы или независимы следующие пары событий: 1) A и B , 2) B и C , 3)

Aи C ?

Решение.

17

P(C)= 521 , P(C B)= 261 , следовательно, события зависимы;

P(C)= 521 , P(C A)= 14 , следовательно, события зависимы. z

Определение. События A1 , A2 ,…, An независимы в совокупности, если для всех

дует, что события A1 , A2 ,…, An независимы в совокупности.

Пример 10. Пусть эксперимент состоит в выборе одного из четырех шаров. Пусть три из них занумерованы цифрами 1, 2, 3, а на четвертом шаре имеются все эти цифры. Обозначим через Ai (i =1,2,3) событие, состоящее в том, что на выбранном шаре имеется

цифра i . Зависимы ли события A1 , A2 и A3 .

Решение. Так как, каждая цифра встречается дважды, то

P(A1 )= P(A2 )= P(A3 )= 24 = 12 .

Так как две различные цифры присутствуют только на одном шаре, то

P(A1 A2 )= P(A2 A3 )= P(A1 A3 )= 14 ,

следовательно, события A1 , A2 и A3 попарно независимы.

Все три различные цифры присутствуют только на одном шаре

P(A1 A2 A3 )= 14 ≠ P(A1 )P(A2 )P(A3 )= 18 .

Таким образом, получаем, что события A1 , A2 и A3 зависимы в совокупности, в то время как они являются попарно независимыми. z

§4. Формула полной вероятности

Определение. События H1 ,…,H n образуют полную группу несовместных собы-

тий (являются гипотезами), если они удовлетворяют двум требованиям:они попарно несовместны, т.е. Hi H j = при i ≠ j ;

в результате опыта одно из событий обязательно должно произойти, т.е.

H1 H 2 … H n = Ω.

Пусть имеется некоторое событие A и известны вероятности P( H1 ),…,P( H n ) и условные вероятности P(A H1 ),…,P(A H n ). Найдем вероятность P(A).

18

Решение. Пусть искомое событие A — вынут белый шар. Рассмотрим гипоте-

Вероятность появления белого шара из первой урны не зависит от того, вынимается ли этот шар непосредственно из первой урны или после перекладывания во вторую. Следовательно, условная вероятность появления белого шара при условии того, что он изначально находился в первой урне, равна:

Пример 13. Среди 30 экзаменационных билетов: 25 «хороших» и 5 «плохих». Какова вероятность, отвечая вторым, взять «хороший» билет?

Решение. Пусть искомое событие A — второй отвечающий взял «хороший» билет. Рассмотрим следующие гипотезы:

H 1 — первый отвечающий взял «хороший» билет;

H 2 — первый отвечающий взял «плохой» билет. Очевидно, что

§5. Формула Байеса

Пусть имеется полная группа несовместных событий H1 ,…,H n . Требуется найти вероятность события H i , если известно, что событие A произошло.

По определению условной вероятности (3.4.1), имеем:

P(A Hi )= P(AH( )i ). P A

Далее, применяя теорему умножения вероятностей P(AH i )= P(H i )P(A Hi ), полу-

чаем

20

Последняя формула называется формулой Байеса или формулой гипотез (события H1 ,…,H n называют еще гипотезами).

Если после опыта, который заканчивается появлением события A , производится еще один опыт, в котором появляется или не появляется событие B , то условная вероят-

Пример 14. Имеются три урны: в первой — a белых и b черных шаров; во второй — c белых и d черных шаров, в третьей — k белых шаров. Выбирается наугад урна и из нее вынимается шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из первой, второй или третьей урны.

Решение. Пусть искомое событие A — вынутый шар белый. Рассмотрим следующие гипотезы:

H 1 — выбрана первая урна;

H 2 — выбрана вторая урна;

H 3 — выбрана третья урна.

Очевидно, что:

P(H1 )= P(H 2 )= P(H3 )= 13 .

Условные вероятности равны:

один шар. Этот шар оказался белым (событие А). найти вероятность того, что следующий шар, который мы вынимаем из той же урны, будет тоже белым(событие В).

Решение. Рассмотрим следующие гипотезы: H 1 — выбрана первая урна;

H 2 — выбрана вторая урна.

21

По формуле Байеса (3.5.1), получаем:

Далее применяем (3.5.2):

P(B A)= P(H1 A)P(B H1 A)+ P(H 2 A)P(B H 2 A).

Условная вероятность появления второго белого шара при условии, что была выбрана первая урна, и из нее вынут белый шар:

P(B H1 A)= a a+−b 1−1 .

Аналогично:

P(B H 2 A)= c +c d−1−1 .

В итоге:

22