![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Федеральное агентство по образованию
- •6. Механические колебания. 56
- •1. Физические величины и их единицы измерения. Математические операции с физическими величинами. 6
- •2. Кинематика поступательного и вращательного
- •3. Динамика поступательного и вращательного
- •4. Силовые поля, закон всемирного тяготения.
- •5. Работа силы. Мощность. Энергия. 47
- •Физические основы механики
- •1.1. Элементы кинематики.
- •1.2. Динамика поступательного и вращательного движения.
- •1.3. Силовые поля. Элементы теории гравитационного поля.
- •§ 55 – 58; С 187 – 195;
- •§ 5.4 – 5.6; С. 55 – 62.
- •1.4. Работа силы. Мощность. Энергия.
- •1.5. Механические колебания.
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Международная (интернациональная) система единиц измерения физических величин (си).
- •6.6.2. Биения
- •6.6.3. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты
- •6,5.3. Добротность
- •6.6. Сложение колебаний
- •6.6.1. Сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
- •1.3. Кратные и дольные единицы измерения.
- •6.5.2. Резонанс
- •6.5. Вынужденные колебания
- •6.5.1. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
- •1.4. Некоторые рекомендации по правильному
- •1.5. Математические операции с
- •6.4. Собственные затухающие колебания
- •6.3.4. Энергия собственных незатухающих колебаний.
- •1.6.1. Умножение векторной величины на скаляр.
- •1.6.2. Сложение двух векторных величин.
- •1.6.3. Вычитание векторных величин.
- •1.6.4. Разложение векторных величин
- •6.3.Свободные незатухающие колебания.
- •1.6.5. Скалярное произведение двух векторов r1 и r2 определяется как скаляр (число).
- •1.6.6. Векторное произведение двух
- •1.7. Дифференцирование и интегрирование физических величин.
- •1.7.1. Табличные формулы.
- •6.2. Кинематика колебательного движения
- •6.1. Основные понятия
- •1.7.2. Полный дифференциал.
- •1.7.3. Дифференцирование векторных физических величин.
- •1.7.4. Интегральные и дифференциальные физические
- •5.8. Энергия вращательного и плоского движений.
- •5.6. Закон сохранения полной энергии (закон Ломоносова).
- •5.7. Применение законов сохранения импульса и энергии. Соударения.
- •2.1. Основные понятия.
- •2.2 Кинематика материальной точки.
- •5.5. Закон сохранения механической энергии
- •5.4.1. Потенциальная энергия упруго деформированного тела.
- •5.4.2. Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух тел
- •5.4. Потенциальная энергия
- •2.3. Кинематика абсолютно твердого тела
- •2.4. Механический (классический) принцип относительности.
- •4.5. Гравитационное поле.
- •3.3. Закон сохранения импульса
5.4. Потенциальная энергия
Потенциальная энергия Wn - скалярная физическая величина характеризующая меру взаимодействия тел. Потенциальная энергия – энергия положения, зависящая от взаимного расположения взаимодействующих тел. Если кинетическая энергия может служить характеристикой даже одного тела, то потенциальная энергия - энергия взаимодействия как минимум двух тел. Например, части пружины взаимодействуют друг с другом, взаимно отталкиваясь при её сжатии . и взаимно притягиваясь при её растяжении. Значит, деформированная пружина обладает потенциальной энергией взаимодействия её частей. Система камень и Земля, взаимно притягиваясь в соответствии с законом всемирного тяготения, обладает потенциальной энергией. Неточно говорить в этом случае о потенциальной энергии только одного камня, как это часто, к сожалению, делается.
Поскольку силы взаимодействия зависят от расстояния между телами, то и говорят, что потенциальная энергия - энергия положения. Условимся называть потенциальной энергией системы (тел) физическую величину Wп, уменьшение которой равно положительной работе внутренних сил: Wn1 - Wn2 = A или A = - (Wn2 - Wn1), (5.14)
где Wn1 – начальное значение потенциальной энергии, Wn2 – её конечное значение.
50
.
(5.9)
5.2. Энергия
Энергия W - скалярная физическая величина, количественно характеризующая меру движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия в изолированной системе не возникает из ничего и не исчезает, она может только переходить из одной формы в другую - это один из наиболее фундаментальных законов природы (Закон Ломоносова).
В соответствии с различными видами движения материи существуют разные формы энергии: механическая, внутренняя, электромагнитная, ядерная и др. Это деление несколько условно. Так, внутренняя энергия складывается из кинетической энергии хаотического движения молекул, атомов относительно центра масс тела и потенциальной энергии взаимодействия этих частиц друг с другом.
Упомянутые выше кинетическая и потенциальная энергии являются разными видами механической энергии.
Механическая энергия - скалярная физическая величина, характеризующая способность тела совершать работу:
,
(5.I0)
Для вывода любого вида энергии удобно пользоваться одним и тем же приемом: сначала определить работу по (5.3), а затем с помощью (5.10) перейти к энергии, т.е., решить систему уравнений:
(5.11) а из сопоставления
уравнений (5.11) следует
.
(5.12)
То есть элементарная
энергия (или ее изменение) равна скалярному
произведению силы
на элементарное перемещение
.
5.3. Кинетическая энергия
Кинетическая энергия Wk - скалярная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. Кинетическая энергия - энергия движения, определяемая массой тела и его скоростью.
Рассмотрим движущееся под действием силы (или равнодействующей нескольких сил) тело массой m.
23
Модуль общего ускорения а найдем по формуле (2.9) и рис. 2.4
а
=
= √ а²n+
a²
.
(2.13)
Частные
случаи
1).
=
0. Это возможно
только при r = ∞ (см. (2.11)), то
есть траектория – прямая линия.
Вывод:
при прямолинейном
движении
нормальное ускорение
отсутствует.
0 Рис. 2.4.
2).
=
0. Это возможно
(согласно (2.12)),
когда ||
= const,
то есть при равномерном движении.
Нормальное ускорение при этом постоянно
(см. (2.11)). Таким образом, всякое движение
ускоренное (движение по инерции).
3).
=
0,
=
0. Следовательно,
=0,
,
r
=
,
то есть данное движение – равномерное
и прямолинейное.
Обобщим вышесказанное:
Равномерное прямолинейное движение.
(=const,
=
0,
=
0). При этом перемещение
можно
найти по (2.4), а путь по (2.5):
;
;
;
,
(2.14)
|d|=
;
;
.
(2.15)
Если при t
= 0 тело
находится в начале координат, то
;
.
Равнопеременное прямолинейное движение.
(const,
=
0,
=
const).
;
;
(2.16)
(2.17)
24
Неравномерное прямолинейное движение
;
. (общие
уравнения кинематики) (2.18)
Равномерное движение по окружности
(,
но
;
,
,
).
В
данном случае удобно перейти
к
угловым величинам:
- угловое перемещение,
-
угловая скорость,
0
- угловое ускорение.
На рис. 2.5 видно, что
,
,
(2.19)
Рис.
2.5. где
- перемещение,
-
радиус окружности,
и
- радиус-векторы.
Угловой скоростью называют векторную физическую величину, характеризующую быстроту изменения углового перемещения:
.
(2.20)
Аналогично, угловое
ускорение
.
(2.21)
С помощью (2.19) можно
найти связь между
и с соответствующими линейными величинами
и
:
,
,
(2.22)
,
.
(2.23)
Поскольку
и
- величины векторные, направление которых
находится по правилу правого винта, то
налицо векторные произведения
соответствующих векторов:
;
.
(2.24)
К вращательному движению применимы все формулы поступательного (прямолинейного) движения (см. (2.14) – (2.18)) при
49
Мощность N – скалярная физическая величина, характеризующая, быстроту (скорость) совершения работы:
при
.
(5.5)
Учтя (5.1), получим
еще одно выражение для определения
мощности:
(5.6)
где
- скорость перемещения тела. За единицу
измерения работы в СИ принят джоуль:
[А]
= [F]·[
]=Н·м
= Дж. Единица измерения мощности - ватт:
[N]
= [A]/[t]
= Дж/с = Bт.
Вcе силы, встречающиеся в макроскопической механике, подразделяются на консервативные (потенциальные) и неконсервативные.
Консервативными
называются силы,
работа которых зависит только от
начального и конечного положений тела.
Причем работа консервативной силы по
произвольной замкнутой траектории
(контуру) L
равна
нулю. Это следует из рассмотрения
рис.5.3. изменение направления движения
тела например,
в точке 2 вызывает изменение знака проекции консервативной
силы
и знака её работы, то есть
Рис. 5.3.
.
Поэтому
,
или
.
(5.7)
В этой формуле
знак
указывает на то, что интегрирование
проводится по замкнутому контуруL
(см. также п. 4.1).
В качестве примера
рассмотрим работу, совершаемую при
перемещении тела в поле центральных
сил (см. п. 4.2), например, в гравитационном
поле. Докажем, что центральные силы
консервативны, то есть
,
(5.8)
где учтено уравнение (4.2).
Действительно,
так как
,
то
,
a
(тело вышло из точки1
и вернулось в эту же точку), то
48
Из (5.3) явствует, что сила не совершает работу в следующих случаях:
l) когда точка приложения силы неподвижна (тело покоится)
и r = const, a dr = 0;
2) если сила
направлена по нормали к перемещению
(угол),
например, центростремительная сила
работы не совершает.
Работу производит
лишь тангенциальная (касательная)
составляющая силы. При этом, если
<
(см.рис. 5.1.а), то А
> 0, если
>
(см.рис.5.1,б), тоА
< 0.
0
Рис. 5.1. б/
r
Рис.
5.2.
Когда сила F
постоянна на перемещении
(рис. 5.2, a), то
.
(5.4)
На рис.5.2,а видно,
что работа постоянной силы соответствует
площади прямоугольника со сторонами
Fr
и
.
Если же сила различна в разных точках пути, то работа (см. рис. 5.2, б) численно равна площади криволинейной трапеции; аналитически она представляется формулой (5.3).
25
замене в них
линейных величин
на угловые (см. (2.19), (2.20), (2.21), (2.24)).
Период вращенияТ– этовремя
одного оборота(при этом),
гдеN– число оборотов.
Частота вращения–число оборотов
в секунду:.
Учитывая эти определения, а также (2.21), получаем:
.
(2.25)
Векторы
,
и
направлены вдоль оси, перпендикулярной
плоскости вращения и проходящей через
центр окружности.
При ускоренном
движении все эти три вектора сонаправлены;
при замедленном (торможении) -
имеет направление противоположное
и
.