- •Федеральное агентство по образованию
- •6. Механические колебания. 56
- •1. Физические величины и их единицы измерения. Математические операции с физическими величинами. 6
- •2. Кинематика поступательного и вращательного
- •3. Динамика поступательного и вращательного
- •4. Силовые поля, закон всемирного тяготения.
- •5. Работа силы. Мощность. Энергия. 47
- •Физические основы механики
- •1.1. Элементы кинематики.
- •1.2. Динамика поступательного и вращательного движения.
- •1.3. Силовые поля. Элементы теории гравитационного поля.
- •§ 55 – 58; С 187 – 195;
- •§ 5.4 – 5.6; С. 55 – 62.
- •1.4. Работа силы. Мощность. Энергия.
- •1.5. Механические колебания.
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Международная (интернациональная) система единиц измерения физических величин (си).
- •6.6.2. Биения
- •6.6.3. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты
- •6,5.3. Добротность
- •6.6. Сложение колебаний
- •6.6.1. Сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
- •1.3. Кратные и дольные единицы измерения.
- •6.5.2. Резонанс
- •6.5. Вынужденные колебания
- •6.5.1. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
- •1.4. Некоторые рекомендации по правильному
- •1.5. Математические операции с
- •6.4. Собственные затухающие колебания
- •6.3.4. Энергия собственных незатухающих колебаний.
- •1.6.1. Умножение векторной величины на скаляр.
- •1.6.2. Сложение двух векторных величин.
- •1.6.3. Вычитание векторных величин.
- •1.6.4. Разложение векторных величин
- •6.3.Свободные незатухающие колебания.
- •1.6.5. Скалярное произведение двух векторов r1 и r2 определяется как скаляр (число).
- •1.6.6. Векторное произведение двух
- •1.7. Дифференцирование и интегрирование физических величин.
- •1.7.1. Табличные формулы.
- •6.2. Кинематика колебательного движения
- •6.1. Основные понятия
- •1.7.2. Полный дифференциал.
- •1.7.3. Дифференцирование векторных физических величин.
- •1.7.4. Интегральные и дифференциальные физические
- •5.8. Энергия вращательного и плоского движений.
- •5.6. Закон сохранения полной энергии (закон Ломоносова).
- •5.7. Применение законов сохранения импульса и энергии. Соударения.
- •2.1. Основные понятия.
- •2.2 Кинематика материальной точки.
- •5.5. Закон сохранения механической энергии
- •5.4.1. Потенциальная энергия упруго деформированного тела.
- •5.4.2. Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух тел
- •5.4. Потенциальная энергия
- •2.3. Кинематика абсолютно твердого тела
- •2.4. Механический (классический) принцип относительности.
- •4.5. Гравитационное поле.
- •3.3. Закон сохранения импульса
2.2 Кинематика материальной точки.
Основной задачей кинематики является описание движений относительно системы отсчета.
Получим сперва формулы для неравномерного криволинейного движения, то есть для самого общего случая движения материальной точки. А затем рассмотрим частные случаи: вращательное, прямолинейное, равномерное и равнопеременное движения. Предположим, материальная точка за время ∆t = t2 – t1 перемещается из
53
Здесь учтено, что угол междуиравени
(5.18)
Сравнивая левые и правые части данной системы уравнений, получаем: . (5.19)
То есть потенциальная энергия взаимно тяготеющих (притягивающихся) тел отрицательна. Потенциальная энергия отталкивающихся тел, к примеру, двух одноименно заряженных тел, - положительна. (Предлагается студентам вывести соотношение для этого случая).
Теперь получим формулу для Wп(h), когда в качестве начального состояния выбрана потенциальная энергия при нахождении тела не в бесконечности, а на поверхности Земли (при h0 = 0; Wп(h0)= 0):
(5.20)
Если h << Rз , то , (5.21)
здесь учтена формула (4.15).
5.5. Закон сохранения механической энергии
В изолированной системе кроме полного импульса сохраняющейся величиной является и механическая энергия.
Допустим, два тела массами m1 и m2 под действием консервативных сил идвижутся со скоростямии, тогда
, . (5.22)
При этом тела за какое-то время t совершат перемещения:
, . (5.23)
52
Согласно этому условию, если внутренние силы совершают положительную работу (А > 0), то потенциальная энергия системы уменьшается Wп2 < Wп1 ; например, при падении камня на Землю с высоты, при перемещении поршня расширяющимся паром, при сжатии растянутой пружины и т.п. Если же работа внутренних сил А < 0, то потенциальная энергия системы увеличивается (Wп2 > Wп1).
5.4.1. Потенциальная энергия упруго деформированного тела.
Если, например, растянуть пружину внешней силой F = kx , то возникнет сила упругости Fy = - kx , которая будет являться внутренней силой. Сила Fy , сжимая пружину, совершит положительную работу A > 0 за счет уменьшения потенциальной энергии пружины. Согласно (5.11) имеем
. (5.15)
Опустив индексы, получим потенциальную энергию деформированной пружины . (5.16)
К тому же результату придем, если за начало отсчета принять положение свободного конца пружины, когда она находится в недеформированном состоянии, то есть X2 = 0; при этом начальная потенциальная энергия также равна нулю.
5.4.2. Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух тел
Рассмотрим два тела (являющиеся материальными точками) массами m1 и m2, притягивающиеся друг к другу (например, камень и Земля) с силой .
При приближении этих тел будет производиться положительная работа. В соответствии с (5.11) имеем:
. (5.17)
21
положения 1 в положение 2 (рис. 2.2). Очевидно, что перемещение
∆= –. (2.2)
1 Разделив ∆на соответствующий
промежуток времени ∆t , получим
3 вектор средней скорости:
ср = ∆/ ∆t. (2.3)
∆Кроме этой скорости, средней для
2 участка пути 1 – 2, используют в той
или иной точке пути (например, в
0 положении 3), называемую мгновенной
Рис. 2.2. скоростью. Из высшей математики известно, что для определения мгновенной скорости нужно взять предел средней скорости при ∆t→0:
=ℓimср = ℓim ∆/∆t = d/dt. (2.4)
∆ t→0 ∆ t→0
Таким образом, вектор мгновенной скорости равен производной по времени от радиуса-вектора движущейся материальной точки. Так как в пределе длина хорды |d| стремится к длине стягиваемой дугиdℓ, то модуль скорости
=||= |d| /dt = dℓ /dt = ds/ t (2.5)
Направление вектора скорости есть, как требует определение (2.4), предел направления хорды (совпадающей по направлению с ∆) при уменьшении ее длины (стягивании в точку). А это есть направление касательной к траектории.
Следовательно, в общем случае вектор мгновенной скорости в каждой точке траектории касателен к ней.
Физический смысл скорости: скорость – векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения перемещения материальной точки в пространстве.
При произвольном движении вектор скорости непрерывно меняется как по величине, так и по направлению (рис. 2.3).
Векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости, называется ускорением .
Формулу для определения ускорения неравномерного криволинейного движения можно получить из следующих соображений. Если обозначить скорость материальной точки в вектор 2 в точку А параллельно самому себе, можно найти приращение ∆:
∆= 2 –1 . (2.6)
22
Разложим вектор ∆на два составляющие:
вектор ∆ – касательный
А 1 к траектории рассматриваемой
С кривой и вектор n –
перпендикулярный ∆, то есть
В направленный к центру кривизны
траектории О. При этом
∆∆=+∆. (2.7)
D Среднее ускорение за
промежуток времени ∆t:
О Рис. 2.3.
= ∆/∆t = /∆t + ∆/∆t. (2.8)
Мгновенное ускорение:
=ℓim =ℓim/∆t + ℓim ∆/∆t =+, (2.9),где введены обозначения: =ℓim/∆t, =ℓim ∆/∆t. (2.10)
∆ t→ 0 ∆ t→ 0
Вектор носит название нормального (или центростремительного) ускорения, вектор называют тангенциальным (или касательным) ускорением. Эти названия следуют из выражений (2.10), поскольку ∆n нормален, а ∆ касателен к траектории.
Модуль нормального ускорения можно определить по рис.2.3, учтя, что треугольник AOD и АВС подобны:
аn =|| = / r, (2.11)
где r – радиус кривизны траектории. (Вывод этой формулы представляется сделать студентам самостоятельно).
Надо отметить, что уравнение (2.11) является общим, то есть справедливым для движения по любой кривой: эллипсу, параболе, окружности и др., а также для равномерного, равнопеременного и неравномерного движений. Это вытекает из того, что при выводе (2.11) не было наложено никаких ограничений на вид траектории и характер движения.
Модуль тангенциального ускорения а =|| =d/dt. (2.12)
Нормальное и тангенциальное ускорения зависят от вектора скорости неоднозначно. Так, нормальное ускорение возникает только при изменении направления скорости, а тангенциальное ускорение – при изменении модуля скорости.
51
По второму закону Ньютона . Решая систему уравнений (5.11), получаем:
Опуская индексы, имеем(при m=const) (5.13).
Этот же результат получим при предположении, что тело начало движение из состояния покоя.
Если А > 0, то Wk2 > Wk1 , то есть положительная работа внешней силы увеличивает кинетическую энергию тела. Наоборот, при А < 0 Wk2 < Wk1, то есть отрицательная работа внешних сил выступающих как силы сопротивления или торможения, уменьшает кинетическую энергию.