4.3. Последовательность решения задачи 3 (Контрольная работа № 2)

Дано: x_i = 1.14, 1.10, 1.13, 1.12, 1.09, 1.14 – выборка случайной величины Х с числовыми характеристиками m_x , σ _x , которые неизвестны. P_q = 0,999 – доверительная вероятность.

Найти:

m_x^* – точечную оценку математического ожидания случайной величины,

S _x^* – точечную оценку дисперсии оценки математического ожидания

случайной величины x ,

Δx – величину доверительного интервала,

m_x^*– предельные значения доверительного интервала.

Решение.

Выборка случайной величины Х обрабатывается по следующим формулам

m_x^* = (4.7)

S _x^* = (4.8)

Δx = 2t_p S _x^* (4.9)

m_x^* = (4.10)

где n – число элементов выборки, t_p – коэффициент Стьюдента (таблица 4.8).

Таблица 4.8

Число измерений	Значение tp при доверительной вероятности
	0,8	0,9	0,95	0.98	0,99	0,995	0,999
2 3 4 5 6 7 8 9 10	3,08 1,89 1,64 1,53 1,48 1,44 1,42 1,40 1,38	6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,90 1,86 1,83	12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26	31,82 6,97 4,54 3,75 3,37 3,14 3,00 2,90 2,82	63,66 9,93 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25	126,32 14,09 7,45 5,60 4,77 4,32 4,03 3,83 3.69	336,62 31,60 12,94 8,61 6,86 5,96 5,41 5.04 4,78

- 24 -

Для удобства расчетов составим таблицу 4.9.

Таблица 4.9

	xi	mx*	xi – mx*	(xi – mx*)2	S x*
x1	1,14	1,12	+ 0,02	0,0004	0,0086
x2	1,10		– 0,02	0,0004
x3	1,13		+ 0,01	0,0001
x4	1,12		0	0
x5	1,09		– 0,03	0,0009
x6	1,14		+ 0,02	0,0004
Сумма	6,72		0	0,0022

Найдем:

m_x^* = = 1,12

S _x^* == 0,0086

Для заданных условий (n = 6, P_q = 0,999) из таблицы 4.8 найдем t_p = 6,86. После чего определим величину доверительного интервала и его предельные значения.

Δx = 2ε = 2t_p S _x^* = 2 ∙ 6,86 ∙ 0,0086 = 0,118

m_x^* + = 1,12 + 0,059 = 1,179

m_x^* – = 1,12 – 0,059 = 1,061

ВЫВОД: Доверительный интервал с пределами (1.061, 1.179) заключает

истинное значение m_x с вероятностью 0,999.