Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет прикладной биотехнологии

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Наврозов, В. В. Элементы высшей математики 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

796.53 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Делим обе части равенства на

Учитывая, что	y	dy	, можем переписать уравнение (3.2) в виде
		dx

			dy f x, y dx .
				(3.3)
Определение.		Функция y x,C ,		зависящая от аргумента х и

произвольной постоянной С, называется общим решением уравнения первого порядка на промежутке a,b , если:

1) эта функция удовлетворяет на этом промежутке уравнению

при любом значении С;
2) для любого заданного начального условия y x0						y	x x y0 (в
2) для любого заданного начального условия y x0						y	x x y0 (в
							0
точке x0, y0 D ) можно найти значение				C C0	, при котором решение
y x,C0 удовлетворяет заданному условию.
Часто общее решение уравнения первого порядка получается в
неявном виде:		x, y,C 0.
		x, y,C 0.				(3.4)
Это	уравнение		называют	общим		интегралом
дифференциального уравнения.
Функция		y x,C0 ,	получаемая	из	общего	решения при
фиксированном		значении C C0 , называется частным решением
уравнения,	а	равенство	x, y,C0 0 частным			интегралом

дифференциального уравнения.

Только несколько типов уравнений первого порядка

интегрируются в квадратурах (то есть приводятся к неопределенному интегрированию). Для решения многих других типов уравнений используются численные (приближенные) методы.

Рассмотрим некоторые уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах.

3.2Уравнения с разделяющимися переменными

Вобщем случае такое уравнение можно привести к виду

Р	x P
1	2

dx Q1 x Q2 y dy 0.
		P2 y Q1 x 0 :
P x		Q y
1	dx	2	dy 0 .
Q x		P y
1		2

(3.5)

Переменные разделились, интегрируем почленно, получаем общий интеграл уравнения:

	P x					Q	y
	1		dx			2			dy C .
	Q	x	dx			P y			dy C .
	Q	x				P y
	1					2
Пример. Найти общее решение уравнения x 1 ydx xdy
Решение: Делим обе части на					xy 0 ; получим
		x 1		dx		dy		0 .
		x		dx		y		0 .
		x				y

Переменные разделились, интегрируем:

x 1		dy			1	dy
	dx		C				C x ln x ln y C x ln xy C
	dx		C	1	dx		C x ln x ln y C x ln xy C
x		y			x	y

−

общее решение дифференциального уравнения. В решении мы полагали, что xy 0 .

	Из уравнения	xy 0
	уравнения:
	x 0 ось Oy	.
		.

	y 0 ось Ox

находим частное решение данного

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения

1 2x	, удовлетворяющее начальному условию	y(0) 1.
y

Решение. Сначала найдем общее решение уравнения:

	1 2x		2	dy 1 2x dx				y	3		2			3		2
yy	1 2x	y						y		x x		C	y		3x 3x

	y							3
	y							3
Начальные условия					x 0, y 1		дают
					1	3		0		C C 1.
					1			0		C C 1.

Записываем частное решение:

y 3 1 3x 3x2 .

Упражнение 9. Решить дифференциальные уравнения. Найти частные решения, если указаны начальные условия.

1)			1
	xyy
5)	xy	2y


x	2	;	2)		y

2xyy			2	; 6)

2

y	2

1dxxy

xydy0 ,

; 3)

y 1

xy y

1; 7)

y	2

xy
2

(1) 1;dx y

xyy
2	y dy

1 0

x	2

;

3.3 Однородные дифференциальные уравнения

Уравнение первого порядка

y f x, y

называется однородным, если

f x, y однородная

порядка; то есть	f x,y f x, y	R .
Таким образом,
y f x, y	y f x, y однородное уравнение.
	y f x, y однородное уравнение.
f x,y f x, y

функция нулевого

(3.6)

Так как в однородном уравнении (3.6)

f x, y

x,y

то при

		1	получим
		x

f x, y	f	1 x ;	1 y	f	1 ;

		x	x

y

x

;

однородное

уравнение преобразуется к виду:

Полагая

t x , найдем

y xt x

, откуда

, y

t xt

t x

t .

Разделяем переменные x

, интегрируем:

t x,C .

t t

Возвращаемся к искомой функции

y x ,

получаем общее решение

дифференциального уравнения:

y xt x,C .

Замечание. Уравнение

однородное,

если

F x, y, y 0

F x, y, y F x, y, y , т.е. замена

x, y

на

не меняет

вида

уравнения.

Пример. Найти общее решение уравнения

			y
			y
y x	y	e	x	.
y x	y	e		.

Решение.

Определение типа:

а) переменные не разделяются; б) проверяем однородность, для этого заменим

x, y

на

	y

y x y e x

	y

y x y e
	x

  

вид

уравнения сохраняется,

следовательно, уравнение однородное.

Ищем решение данного уравнения в следующем виде:

		. Подставим в заданное уравнение,
y	t xt	. Подставим в заданное уравнение,
проинтегрируем:
xt x t xt et t t x			dt	et x	dt	et e
xt x t xt et t t x			dx	et x	dx	et e
			dx		dx

e t ln x C.

разделим переменные и

t dt dxx e t dt dxx

Учитывая, что

или в явном виде:

	t	y	, получаем общее решение:
	t	x	, получаем общее решение:
		x
y	ln ln x C			y	1	y
x	ln ln x C			x	ln ln x C	y
x				x

	y
e	x	ln x C

x ln ln x C .

Упражнение 10. Решить дифференциальные уравнения. частное решение, если указаны начальные условия:

; 2)

ydy x 2y dx 0

; 3)

; 4)

1) y xy

x yy

xyy

dy 2xydx 0

2 .

5) xy y xe

; 6)

y(1)

Найти

	x y	;
	x	;
	x

3.4 Линейные уравнения первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

		p x y q x 0	,	(3.7)
	y
где	p x , q x непрерывные функции.

Существенным и определяющим здесь является уравнения (3.7) относительно неизвестной функции производной y x .

линейность

y x

и ее

Один из методов решения линейного уравнения метод Бернулли, согласно которому ищем решение линейного уравнения в виде произведения двух функций: y u x v x .

Подставляя y u x v x ,

u v

в (3.7), приходим к совокупности

двух уравнений с разделяющимися переменными, решая которые находим функции u x , v x и записываем решение самого линейного уравнения.

Продемонстрируем метод Бернулли примером.

Пример. Найти общее решение уравнения					xcosx
Пример. Найти общее решение уравнения		y x y			xcosx
Решение. Определяем тип:
а) переменные не разделяются;
б) уравнение не однородное (т.к. при замене			x,	y		на x,
уравнения изменится);
	).
в) уравнение линейное (по y, y	).

Ищем решение уравнения в виде произведения двух функций:

y u x v x ,
	y	u v uv .
Подставим в заданное уравнение:		xcosx .

uv x u v uv

вид

1	шаг. Группируем слагаемые, содержащие функцию		v	(и выносим
общий множитель v за скобки):
				( )
	v u xu x uv xcosx .			( )
2	шаг. Так как искомая функция	y представлена в виде произведения

двух функций u x , v x , то одну из них можно выбрать произвольно;

например, функцию	u x	можно выбрать как частный интеграл
уравнения:
				du

			0 u x dx		0 .
	u xu		0 u x dx		0 .

Разделяя переменные, интегрируем, получим

ln u ln x

(берем частный

C 0 ).

Откуда

u x .

3 шаг. Подставим найденное u x

в уравнение ( ) (учтем:

получим уравнение для функции v x :

x xv xcosx 0 .

Получим (при

x 0)

cosx 0 dv cosxdx .

Откуда

v sin x C .

4 шаг. Записываем общее решение

y uv :

y x sin x C .

интеграл,

	0 ),
u xu

Пример. Найти частное решение уравнения y 2xy xe x 2 , удовлетворяющее начальному условию y 0 0.

Решение. Определяем тип:

а) переменные не разделяются; б) уравнение не однородное (т.к. при замене уравнения изменится);

в) уравнение линейное (по		).
	y, y

на

x, y

вид

Ищем решение уравнения в виде произведения двух функций:

y u x v x ,

Подставим в заданное уравнение:

u v

	x
u v uv 2xuv xe	2	.
u v uv 2xuv xe		.

1 шаг. Группируем слагаемые, содержащие функцию v x :

	x
v u 2xu uv xe	2	.
v u 2xu uv xe		.

2 шаг. Используя произвол в выборе функции u x , полагаем в (

				2xu 0.
			u	2xu 0.
Преобразуем, разделяем переменные, интегрируем:
du	2xu 0	du	2xdx ln u x		2	(полагаем С=0).
					2
dx		u
dx		u

():

)

Найдем ln u x

u e

3 шаг. Подставим найденную функцию

u e

в ( ), получим

2xu 0 )

учетом u

x .

v xe

Разделяем переменные, интегрируем:

dv xdx .

Получим

C .

4 шаг. Записываем общее решение

y uv :

C e x

5 шаг. Подставляем начальные значения x 0 ,

y 0

, найдем

(с

0	1	0 C	e0	C

	2

Находим частное решение:

y 12 x2e x2 .

3.5 Уравнение Бернулли

Это уравнение имеет вид:

p x y q x y

0 .

Уравнение Бернулли содержит линейную часть по

(3.8) y, y и, кроме того,

слагаемое

q x yk

с некоторой степенью искомой функции.

При k 0	получаем линейное уравнение.
При k 1	переменные разделяются.
В общем	случае (при	k 0, k 1)			уравнение Бернулли решается
методом Бернулли.
Пример. Найти общее решение уравнения
					2
				xy y y		ln x .
Решение. Определение типа:
а) переменные не разделяются;
б) уравнение не однородное;
в) уравнение не линейное;							y, y	и
г) это – уравнение Бернулли (есть линейная часть относительно							y, y	и

слагаемое с множителем		y	2	).
слагаемое с множителем		y		).

Решаем методом Бернулли. Ищем решение

уравнения в

произведения двух функций:

y u x v x ,

u v uv

Подставляем в данное уравнение:

uv u

ln x .

x u v uv

1 шаг. Группируем слагаемые, содержащие функцию v x :

ln x .

v(xu u) xuv u

2 шаг. Используя произвол в выборе функции u x , полагаем в (

xu		u 0 .

Преобразуем, разделяем переменные, интегрируем:

виде

( )

u 0

(полагаем С=0).

Найдем

ln u ln

3 шаг. Подставим найденную функцию u

в ( ), получим (с учетом

u 0 )

v2 ln x

v2 ln x .

Разделяем переменные, интегрируем:

	dv
	v	2

Интеграл справа берем по частям.

ln xdx		.
x	2

Получим

u ln x

ln xdx

ln x

Найдем

ln x

Cx ln x

4 шаг. Записываем общее решение

y uv

Cx ln x 1

Упражнение 11. Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение, если указаны начальные условия:

4xy 3

; 2)

2 y

; 3)

y x

y ; 4)

xy 1

0 ;

1 y

5) y

2 y y

; 6)

y(2) 0; 7)

xy y ln x 1,

y 1 0

;

1 x y y e

1 x

2xy xy

y(0) 0,5 .

4. Контрольные задания

I. Найти неопределенные интегралы:

10)

11)

12)

13)

а)

arctgx

;

1 x

а)

arcsin x 1

dx ;

1 x

а)

;

3 e

а)

;

1 x

arcsin

x dx

а)

;

2 e

а)

;

x ln x

а)

;

1 3

а)

;

1 tg

а)

dx ;

cos

3 ctg

а)

dx ;

sin

а)

;

а)

e x dx

;

а) ex 1 ex dx ;

б)

dx ;

x e

б) 2x2

3x sin xdx ;

б)

3x ln xdx

;

б)

x 5 e

dx ;

б)

4 cos2xdx

;

б)

1 ln 2xdx ;

б)

x arcsin xdx

;

б)

arcsin

xdx

;

б) x 3 sin 3xdx ;

б)

(2x

5) cos2xdx

;

б)

ln 3xdx ;

б) x2 cos 3x dx ;

б) 2x 2 3 sin 2x dx ;

в)

			2x 1		dx .
		2
	x			4x	3

	3x 5				dx .
	2
x		3x 2

				x 3	dx .
			2
	x			6x 5

3x 5

dx .

4x2 6x 1

2x 3

4x 6

3x 2

dx .

5x 2

dx .

4x 1

dx .

x 3

dx .

5x 1

2x 5

dx .

2x 4

x 3

dx .

2x 1

dx .

3x 4

3x 1

x2 5x 3 dx .

14)	а)			xdx					;

			4				9x		2

		3x			2	dx
15)	а)								;
		x	6	25


16)	а)		sin xdx							;
			cos				2	x	4

б)

e	x	cos2xdx ;

3x2 4x 2 e x dx ;

e	3x	sin xdx ;

в)

 

		5x 1		dx .
		2
	x		2x	4

	4x 3			dx .
	2
x		5x 9

		x 2		dx .
	2
x		4x 7

17)

а)

6xdx

;

б)

ex sin x 1 dx

;

в)

5x 2

dx .

x4 5

3 cos

3x2 2x

18)

а)

; б)

dx ;

в)

x 6

dx .

25 tg

4x 1

cos x

19)

а)

sin 2xdx

;

б)

2x 3 ln xdx

;

в)

2x 1

dx .

1 sin

4x 3

20)

а)

6xsin x

3 dx ;

б)

x ln x 4 dx ;

в)

dx .

3x 1

II.Вычислить определенный интеграл:

	2				3						x											4						x
1)	x cos xdx ;										x																	x
																		2
				6)	1 x				e	3		dx ;	11)		6x cos x			2	dx ;		16)	5x 3 e						2	dx
	0			6)	1 x				e			dx ;	11)		6x cos x				dx ;		16)	5x 3 e							dx

														0
					0									0								0
					0																	0
	e				9									1
2)	ln	2	xdx ;	7)	x		x	2	4dx ;				12)	x		2	3 e	2 x		dx ;					x
																					17)	6x cos			x			dx ;

	0				0									0											6
	0				0									0
																						0
																						0
	1				e		ln x							e								1				3
						3																1	2	arcsin				x
	2														2
														x

				8)							dx ;		13)			ln xdx ;					18)								dx
3)	arcsin2xdx ;			8)			x				dx ;		13)			ln xdx ;					18)			1 x			2		dx
	0				1		x							1								0
					1									1								0

;

	2	3
4)	x	3	ln 4xdx ;
4)	x		ln 4xdx ;
	1
		x
5)	e	x	cos2xdx
5)	e		cos2xdx
	0

;

	1		2xdx
9)			2xdx	;
9)				;
	0		9 x	2
	0		9 x
			x 1 sin
10)			x 1 sin

		2

x 2

;


14)	x	2	x cos xdx
14)	x		x cos xdx
	0

15) x2 sin 2xdx ;

	1
; 19)
	0

20)

3xdx		;
4 x	4

9 e2x dx .

III. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.07.2019397.31 Кб0Метрология.Журнал лабораторных работ.doc
#
03.11.2018971.26 Кб27Метрология.Методичка.doc
#
12.11.20182.24 Mб24Метрология.МИСТ11.doc
#
09.04.2015236.61 Кб28микра.docx
#
09.04.20151.2 Mб28МУ-РГР-Детали машин.pdf
#
09.04.2015796.53 Кб8Наврозов, В. В. Элементы высшей математики 2.pdf
#
31.08.2019628.22 Кб2Новый2.doc
#
26.11.2019336.38 Кб5Нормы - клиника, биохимия, кал.doc
#
09.04.2015460.29 Кб35обработка измерений.doc
#
09.04.201589.6 Кб13Обществознание 2013.doc
#
14.08.2019278.53 Кб3Однородные преобразования.doc