5. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса

теорема Остроградского-Гаусса

Здесь V – произвольный объем, ограниченный поверхностью S. Применим теорему Остроградского-Гаусса к потоку электростатического поля. С учетом

.

получим:

.

Из равенства интегралов ввиду произвольности объема V следует равенство подынтегральных выражений, т.е. теорема Гаусса в дифференциальной форме :

.

6. Работа электрических сил. Потенциал электростатического поля.

Работа по перемещению заряда в однородном поле. Сила, действующая на пробный заряд q₀, помещенный в однородное поле E, направленное вдоль оси x, равна F = q₀E. Работа по перемещению заряда на расстояние dx равна dA = Fdx = q₀Edx. Так как поле не зависит от координаты, то работа по перемещению заряда из точки x₁ в точку x₂ равна (5.1) Видно, что значение работы зависит только от значений начальной и конечной координат заряда. Работа по переносу заряда в однородном поле не зависит от пути перемещения. Потенциальные поля. Если работа, совершаемая векторным полем над пробным телом, не зависит от формы траектории, то такое поле называется потенциальным. Иными словами, в потенциальном поле работа по замкнутому контуру равна нулю. Потенциальное поле можно описать, задав значение потенциальной энергии пробного заряда в каждой точке поля и приняв по определению, что совершаемая при движении заряда работа равна взятому со знаком минус изменению потенциальной энергии W_п заряда: (5.3) Таким образом, а) потенциальная энергия пробного заряда в однородном электростатическом поле: б) потенциальная энергия пробного заряда в поле неподвижного точечного заряда: Отношение потенциальной энергии пробного заряда в электростатическом поле к величине пробного заряда зависит только от тех зарядов, которые создают поле, и называется потенциалом электростатического поля. Итак, по определению (5.4) Работа по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 запишется в виде: (5.5) где величина называется разностью потенциалов, или напряжением между точками 1 и 2. Размерность потенциала и разности потенциалов: [j] = [U] = Дж/Кл = В (вольт). Следует обратить внимание на то, что во все формулы для работы, совершаемой при движении заряда в электростатическом поле, входят не сами значения потенциальной энергии или потенциала, а разности этих значений между двумя произвольными точками. Поэтому потенциальная энергия и потенциал определены с точностью до произвольной постоянной, которую можно добавить к этим величинам, не изменив их разность между двумя точками. Это позволяет выбирать точку отсчета потенциальной энергии так, как удобно в конкретной задаче. Связь между потенциалом и напряженностью поля. При движении заряда в однородном поле иными словами: (5.6)Аналогичная формула верна и в трехмерном случае. Словами это можно выразить так: электростатическое поле направлено в сторону убывания потенциала и пропорционально скорости изменения потенциала в пространстве. Учитывая, что разность потенциалов (напряжение) U = -Dj, можно записать формулу иначе: Полученная формула позволяет определить другую единицу измерения напряженности электрического поля: [E] = В/м (вольт на метр). Изменение потенциала в пространстве можно изображать, проводя эквипотенциальные поверхности (поверхности равного потенциала). Силовые линии электрического поля направлены по нормали к эквипотенциальной поверхности в каждой точке.