3.Основные определения векторного анализа: градиент, поток вектора, циркуляция, дивергенция, ротор. Примеры.

Градиент — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря (2-мерное пространство), то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «в горку».

Формальное определение выглядит следующим образом:

Для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами , , , где — некоторая скалярная функция координат x, y, z.

градиент Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля

Поток векторного поля — однопараметрическое семейство диффеоморфизмов Γ_t определямых дифференциальным уравнением

Поток векторного поля через гиперповерхность — поверхностный интеграл второго рода по поверхности S. По определению

где — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), — единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — т.е. для дифференцируемой поверхности — так, чтобы было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, т.к. поток через неё всегда ноль), dS — элемент поверхности В трёхмерном случае ,а гиперповерхность - есть обычная двумерная поверхность.

Иногда, особенно в физике, применяется обозначение

тогда поток записывается в виде

Циркуля́цией ве́кторного по́ля называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по произвольному замкнутому контуру Γ. По определениюгде  — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ,  — бесконечно малое приращение радиус-вектора вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру.

Дивергенция — это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Оператор дивергенции, применённый к полю , обозначают как или .

Дивергенция Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля.

Ротор— векторный оператор векторного поля, показывает насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор Характеризует вихревую составляющую векторного поля.

4.Теорема Остроградского — Гаусса. Электрическое поле заряженной плоскости, цилиндрической и сферической поверхности.

Теорема Остроградского — Гаусса — утверждение интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающее связь между n-кратным интегралом по области и (n − 1)-кратным интегралом по её границе. Пусть V = (v₁,v₂,...,v_n) есть векторное поле на , такое что функции v_i вместе со своими частными производными интегрируемы по Лебегу в ограниченной области Ω, граница которой является объединением конечного множества кусочно гладких (n − 1)-мерных гиперповерхностей, ориентированных с помощью внешней единичной нормали ν.

Тогда формула Остроградского имеет вид

где- есть дивергенция поля V.

Формула Остроградского — Гаусса в векторной форме имеет вид

,то есть интеграл от дивергенции векторного поля , распространённый по некоторому объёму T, равен потоку вектора через поверхность S, ограничивающую данный объём.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по поверхности, ограничивающей данный объём, то есть замкнутых, таких как поверхность воздушного шарика, и не применима к поверхностям, таким как воздушный шар с подогревом.

В работе Остроградского формула записана в следующем виде,,

где ω и s дифференциалы объёма и поверхности. В современной записи ω = dΩ — элемент объема, s = dS — элемент поверхности.  — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.