Лекции по физике / 4.2.Механические волны

§ 1.7. Механические волны

Распространяющиеся в пространстве колебания вещества или поля называются волной. Колебания вещества порождают упругие волны (частный случай – звук).

Механическая волна – это распространение колебаний частиц среды с течением времени.

Волны в сплошной среде распространяются вследствие взаимодействия между частицами. Если какая-либо частица приходит в колебательное движение, то, вследствие упругой связи, это движение передается соседним частицам, и волна распространяется. При этом сами колеблющиеся частицы не перемещаются вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия.

Продольные волны – это такие волны, в которых направление колебаний частиц x совпадает с направлением распространения волны . Продольные волны распространяются в газах, жидкостях и твердых телах.

Поперечные волны – это такие волны, в которых направление колебаний частиц перпендикулярно направлению распространения волны . Поперечные волны распространяются только в твердых средах.

Волны обладают двоякой периодичностью – во времени и в пространстве. Периодичность во времени означает, что каждая частица среды колеблется около своего положения равновесия, и это движение повторяется с периодом колебаний T. Периодичность в пространстве означает, что колебательное движение частиц среды повторяется через определенные расстояния между ними.

Периодичность волнового процесса в пространстве характеризует величина, называемая длиной волны и обозначаемая .

Длина волны - это расстояние, на которое распространяется волна в среде за время одного периода колебаний частицы .

Отсюда , где - период колебаний частиц, - частота колебаний, - скорость распространения волны, зависящая от свойств среды.

Как записать уравнение волны? Пусть кусочек шнура расположенный в точке О (источник волны) совершает колебания, происходящие по закону косинуса

.

Пусть точка некоторая В находится на расстоянии х от источника (точки О). для того чтобы волна, распространяющаяся со скоростью v, дошла до нее требуется время . Это означает, что в точке В колебания начнутся позже на . То есть . После подстановки в это уравнение выражения для и ряда математических преобразований, получим

, . Введем обозначение: . Тогда . В силу произвольности выбора точки В это уравнение и будет искомым уравнением плоской волны .

Выражение, стоящее под знаком косинуса называется фазой волны .

Если две точки находятся на различных расстояниях от источника волны, то фазы их будут различны. Например, фазы точек В и С, находящихся на расстояниях и от источника волны, будут соответственно равны

Разность фаз колебаний, происходящих в точке В и в точке С обозначим и она будет равна

.

В таких случаях говорят, что между колебаниями, происходящими в точках В и С имеется сдвиг по фазе Δφ. Говорят, что колебания в точках В и С происходят в фазе, если . Если , то колебания в точках В и С происходят в противофазе. Во всех остальных случаях – просто имеется сдвиг по фазе.

Понятие «длина волны» можно определить и иначе:

• длина волны - это минимальное расстояние между частицами среды, колеблющимися в одинаковой фазе

• расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в фазе, называется длиной волны .

.

Поэтому k называют волновым числом.

Мы ввели обозначение и показали, что . Тогда

.

Длина волны – это путь, проходимый волной за один период колебания.

Определим два важных в волновой теории понятия.

Волновая поверхность – это геометрическое место точек среды, колеблющихся в одинаковой фазе. Волновую поверхность можно провести через любую точку среды, следовательно, их бесконечно много.

Волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей (если источник волн – бесконечная плоскость), параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер (если источник волн точечный).

Фронт волны (волновой фронт) – геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени . Фронт волны отделяет часть пространства, вовлеченную в волновой процесс, от области, где колебания еще не возникли. Следовательно, волновой фронт – это одна из волновых поверхностей. Он разделяет две области: 1 – до которой дошла волна к моменту времени t, 2 – не дошла.

Волновой фронт в каждый момент времени только один, и он все время перемещается, тогда как волновые поверхности остаются неподвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одинаковой фазе).

Плоская волна – это такая волна, у которой волновые поверхности (и фронт волны) являются параллельными плоскостями.

Сферическая волна – это такая волна, у которой волновые поверхности являются концентрическими сферами. Уравнение сферической волны: .

Каждая точка среды, до которой дошли две или более волн, будет принимать участие в колебаниях, вызванных каждой волной в отдельности. А каким будет результирующее колебание? Это зависит от ряда факторов, в частности от свойств среды. Если свойства среды не изменяются из-за процесса распространения волн, то среда называется линейной. Опыт показывает, что в линейной среде волны распространяются независимо друг от друга. Мы будем рассматривать волны только в линейных средах. А каким будет колебание точки, до которой дошли две волны одновременно? Для ответа на этот вопрос необходимо понять как найти амплитуду и фазу колебания, вызванного этим двойным воздействием. Для определения амплитуды и фазы результирующего колебания необходимо найти смещения, вызванные каждой волной, а затем их сложить. Как? Геометрически!

Принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Важным понятием волновой теории является понятие когерентность – согласованное протекание во времени и в пространстве нескольких колебательных или волновых процессов. Если разность фаз волн, приходящих в точку наблюдения не зависит от времени, то такие волны называются когерентными. Очевидно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту.

Рассмотрим, каким будет результат сложения двух когерентных волн, приходящих в некоторую точку пространства (точку наблюдения) В. Для того, чтобы упростить математические расчеты будем считать, что волны, которые излучаются источниками S₁ и S₂ имеют одинаковую амплитуду и начальные фазы равные нулю. В точке наблюдения (в точке В) волны, приходящие от источников S₁ и S₂ будут вызывать колебания частиц среды: и . Результирующее колебание в точке В найдем как сумму .

Обычно амплитуду и фазу результирующего колебания, возникающего в точке наблюдения, находят с помощью метода векторных диаграмм, представляя каждое колебание в виде вектора, вращающегося с угловой скоростью ω. Длина вектора равна амплитуде колебания. Первоначально этот вектор образует с выбранным направлением угол равный начальной фазе колебаний. Тогда амплитуда результирующего колебания определяется по формуле .

Для нашего случая сложения двух колебаний с амплитудами , и фазами ,

.

Следовательно, амплитуда колебаний, возникающих в точке В, зависит от того, какова разность путей , проходимых каждой волной в отдельности от источника до точки наблюдения ( – разность хода волн, приходящих в точку наблюдения). Интерференционные минимумы или максимумы могут наблюдаться в тех точках, для которых . А это уравнение гиперболы с фокусами в точках S₁ и S₂.

В тех точках пространства, для которых , амплитуда возникающих колебаний будет максимальна и равна . Так как , то амплитуда колебаний будет максимальна в тех точках, для которых .

в тех точках пространства, для которых , амплитуда возникающих колебаний будет минимальна и равна . амплитуда колебаний будет минимальна в тех точках, для которых .

Явление перераспределения энергии, возникающее в результате сложения конечного числа когерентных волн, называется интерференцией.

Явление огибания волнами препятствий называется дифракцией.

Иногда дифракцией называют любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики (если размеры препятствий соизмеримы с длиной волны).

Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшие отверстия в экранах и т.д. Как объяснить попадание волн в область геометрической тени? Объяснить явление дифракции можно с помощью принципа Гюйгенса: каждая точка, до которой доходит волна, является источником вторичных волн (в однородной среде сферических), а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени.

Вставка из интерференции света посмотреть что может пригодиться

Волной называется процесс распространения колебаний в пространстве.

Волновая поверхность - это геометрическое место точек, в которых колебания совершаются в одинаковой фазе.

Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых волна доходит к определенному моменту времени t. Фронт волны отделяет часть пространства, вовлеченную в волновой процесс, от той области, где колебания еще не возникли.

Для точечного источника фронт волны представляет собой сферическую поверхность с центром в точке расположения источника S. 1, 2, 3 - волновые поверхности; 1 - фронт волны. Уравнение сферической волны, распространяющейся вдоль луча, исходящего от источника: . Здесь - скорость распространения волны, - длина волны; А - амплитуда колебаний; - круговая (циклическая) частота колебаний; - смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии r от точечного источника, в момент времени t.

Плоская волна - это волна с плоским волновым фронтом. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси y: , где x - смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии y от источника, в момент времени t.

9