Варианты для самостоятельного решения Задание

Вычислить интеграл тремя методами: прямоугольников, трапеций и методом парабол (Симпсона), используя автоматический выбор шага интегрирования.

Точность вычислений ε =10^-4.

Таблица заданий № 1.

№ п/п	Уравнение	№ п/п	Уравнение	№ п/п	Уравнение
1		11		21
2		12		22
3		13		23
4		14		24
5		15		25
6		16		26
7		17		27
8		18		28
9		19		29
10		20		30

Таблица заданий № 2.

№ п/п	Уравнение	№ п/п	Уравнение	№ п/п	Уравнение
1		11		21
2		12		22
3		13		23
4		14		24
5		15		25
6		16		26
7		17		27
8		18		28
9		19		29
10		20		30

Таблица заданий № 3.

№ п/п	Уравнение	№ п/п	Уравнение
1		15
2		16
3		17
4		18
5		19
6		20
7		21
8		22
9		23
10		24
11		25
12		26
13		27
14		28

Лабораторная работа №3 «Уточнение корня уравнения»

1. Цель работы

Получить навыки модульного программирования на примере задачи численного решения нелинейных уравнений. Использование оболочки QBasic для построения программ и головного модуля.

2. Основные теоретические положения

Многие задачи исследования различных объектов с помощью математических моделей, применяемых их для прогноза или расчёта, приводят к необходимости решения нелинейных уравнений.

Уравнения могут быть алгебраическими и трансцендентными. Пример

алгебраического уравнения: y = a + bx + cx², трансцендентного: y = eⁿ + x.

Решить уравнение – это найти такое значение переменной х, при котором заданная функция равна нулю (f (x) = 0).

Как правило, процесс решения нелинейного уравнения обще­го вида f(х)=0 осуществляется в два этапа. На первом этапе от­деляют корни, т.е. находят такие отрезки, внутри которых нахо­дится строго один корень. На втором этапе уточняют корень, т.е. находят его значение х* с предварительно заданной точностью ε. В практических задачах решением называют любое значение х, отличающееся по модулю от точного значения х* не более чем на величину ε.

Рассмотрим следующие методы уточнения корня уравнения:

- метод дихотомии;

- метод касательных;

-метод простой интеграции;

- метод хорд.

1). Метод дихотомии

Пусть функция f (x) отрицательна в точке a (f (a) < 0), положительна в точке b (f (b) > 0), и непрерывна на отрезке [a, b] график функции пересекает ось Х, т. е. на этом отрезке имеется корень уравнения – точка, в которой f(х)= 0.

Тот же вывод следует, если f(а) > 0, f(b) < 0. В общем виде это формулируется так: в точках а и b функция f(х) принимает значения разных знаков. Если нам известен хотя бы один такой отрезок, пусть и большой длины, мы можем построить процедуру быстрого и сколь угодно точного поиска корня уравнения. Найдем значение функции в точке с, находящейся в середине отрезка: с =(a + b)/2. Знак f(с) совпадает со знаком функции на одном из концов отрезка и противоположен знаку функции на другом конце.

Пусть разные знаки f(х) в точках а и с. Значит на [а, с] наверняка есть искомый корень уравнения.

Таким образом, мы получили задачу, эквивалентную исходной, но теперь длина отрезка, на котором, как нам известно, находится корень, в два раза короче. Отрезок [а, с] опять можно разделить пополам и оставить в рассмотрении только один из двух получившихся (учитывая знаки значений f(х) на концах этих отрезков). Выбранный отрезок вновь разделить, и продолжать так до тех пор, пока отрезок, на котором находится корень, не станет достаточно мал.