Пособие_Бедарев_Федорова_Федорченко
.pdfИтак, разобьем отрезок [a,b] на n частей точками a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b . Набор этих точек называется вы-
числительной сеткой. В случае, если отрезок разбивается на равные части, длина которых равна h, мы получим равно-
мерную сетку: xi = a + ih, |
i = 0,1, ..., n . В этом случае |
b |
n xi |
I = ∫ f (x) dx = ∑ ∫ f (x)dx . |
|
a |
i =1 xi−1 |
Для построения квадратурной формулы на всем отрезке [a,b] достаточно построить квадратурную формулу на отдельном отрезке [xi−1 , xi ] и затем полученные значения просумми-
ровать. Рассмотрим несколько основных формул численного интегрирования.
5.2. Формула прямоугольников
На отрезке [a,b] построим сетку, состоящую из n частей и, соответственно, (п + 1) узла. Пусть f (x) = f (xi −1 ), x [xi −1, xi ]. Это означает, что на каждом отрезке мы интерполируем функ-
цию f (x) |
при помощи левой кусочно-постоянной интерполя- |
|||
ции. Тогда |
|
|
|
|
xi |
xi |
xi |
|
|
∫ f (x) dx = ∫ f (xi −1 ) dx = f (xi −1 ) ∫ dx = f (xi −1 )(xi − xi −1 ). |
||||
xi−1 |
xi−1 |
xi−1 |
|
|
Суммируя |
найденные |
значения, |
получим |
формулу |
b |
n |
|
|
|
∫ f (x) dx = |
∑ f (xi −1 )(xi − xi −1 ) . Она называется формулой левых |
|||
a |
i =1 |
|
|
|
прямоугольников.
В случае, если расстояние (шаг) между соседними узлами xi постоянный, т.е. сетка равномерная, формула примет бо-
b |
n |
лее простой вид: ∫ f (x)dx = h∑ f (xi−1 ) . |
|
a |
i =1 |
|
50 |
Геометрическая интерпретация метода левых прямоугольников представлена на рис. 2.1, который показывает, что точное значение интеграла (площадь криволинейной области под графиком f (x) ) заменяется суммой площадей прямоугольников,
построенных под кусочно-постоянной интерполирующей функцией.
Аналогично может быть получена формула правых прямоугольников. В этом случае используется правая ку- сочно-постоянная интерполяция и за постоянное берется значение функции на правом конце отрезка (рис. 2.2). То есть
при |
x [xi −1 , xi ] |
|
|
f (x) = f (xi ) . |
В результате получим: |
|
b |
n |
|
)(xi |
− xi −1 ) или |
|
|
∫ f (x) dx = ∑ f (xi |
в случае постоянного шага |
|||||
a |
i =1 |
|
|
|
|
|
b |
n |
(xi |
|
|
|
|
∫ f (x) dx = h∑ f |
) . |
|
|
|||
a |
i=1 |
|
|
|
|
|
Рис. 2.1. Метод левых |
Рис. 2.2. Метод правых |
|
прямоугольников |
||
прямоугольников |
||
|
Оценим погрешность формулы левых прямоугольников в случае постоянного шага сетки:
51
b |
n |
n |
xi |
|
n |
Ψn = ∫ f (x)dx − h∑ f (xi −1 ) |
= ∑ |
∫ f (x)dx − hf (xi −1 ) |
= ∑ϕi , |
||
a |
i =1 |
i =1 xi−1 |
|
i =1 |
|
xi |
xi |
|
|
|
|
ϕi = ∫ f (x)dx − hf (xi −1 ) = ∫( f (x)− f (xi −1 ))dx. |
|
|
|||
xi−1 |
xi−1 |
|
|
|
Воспользуемся разложением в ряд Тейлора в окрестности точки xi−1 :
f (x) = f (xi −1 ) + f ′(ξi )(x − xi −1 ),ξi [xi −1, xi ].
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
(xi −1 )+ f ′(ξi )(x − xi −1 )− f (xi −1 )]dx = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
ϕi = ∫[ f |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= ∫ f ′(ξi |
)(x − xi −1 )dx = |
|
f ′(ξi ). |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xi−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пусть M = max |
|
f ′(x) |
|
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
x [a,b] |
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
h |
|
|
f ′(ξi ) |
|
|
|
|
h |
|
|
|
h |
|
h |
|
Mh |
(b − a). |
||||||||
|
Ψn |
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
≤ |
|
M ∑1 = |
|
Mn = |
Mnh = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
i =1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
i =1 |
2 |
2 |
2 |
|
Отсюда видно, что погрешность зависит от шага по пространству в первой степени, т.е. при уменьшении шага в k раз погрешность также уменьшится в k раз. В этом случае говорят, что формула левых прямоугольников имеет первый по h порядок точности. Аналогичную оценку можно получить для формулы правых прямоугольников.
Если на каждом отрезке [xi−1 , xi ] |
заменить значение функ- |
||||
ции f(x) |
на |
ее |
значение в |
середине отрезка, т.е. |
|
f (x) = f |
x |
, x [x |
, x ], получим формулу средних прямо- |
||
|
|
|
i −1 i |
|
|
|
i − 12 |
|
угольников:
52
|
|
|
b |
f (x)dx = |
|
n |
|
|
− x |
|
) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∫ |
∑ |
f x |
(x |
i −1 |
||||||
|
|
|
|
|
i − 12 |
i |
|
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
f (x)dx = h |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
∫ |
∑ |
при постоянном шаге. |
||||||||||
f x |
|
||||||||||||
|
|
i − 12 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если функция f (x) задана таблично, среднее значение на локальном отрезке можно вычислить с помощью линейной ин-
терполяции x |
= |
xi −1 + xi |
, и тогда метод средних прямоуголь- |
|||||||
2 |
||||||||||
i − 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b |
|
n |
x |
|
+ x |
||||
|
|
|
|
|||||||
ников имеет вид: |
∫ f (x)dx = h∑ f |
i −1 |
|
i |
. |
|||||
|
|
|
||||||||
|
a |
|
i =1 |
|
2 |
|
|
Проведем аналогичные выкладки для оценки погрешности метода средних прямоугольников:
|
b |
|
|
|
|
n |
f x |
|
|
|
= |
|
n |
xi |
|
|
x |
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||
Ψ = f |
(x)dx − h |
|
1 |
|
|
|
|
f (x)dx − hf |
1 |
|
|
= ϕ |
i |
, |
|||||||||||||||
n |
∫ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
∑ ∫ |
|
|
|
2 |
|
|
|
∑ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
i− |
2 |
|
|
|
|
i− |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 xi−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|||||
|
xi |
(x)dx − |
|
|
|
|
|
= |
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ϕi = ∫ f |
f xi − 1 |
|
h |
∫ |
f (x) − |
f xi − 1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
xi−1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
xi−1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Воспользуемся формулой Тейлора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
f (x) = f |
x |
|
|
+ f ′(ξ |
) x − x |
|
|
|
+ |
1 |
|
f ′′(ξ ) x − x |
|
|
|
2 , |
|
|
|
||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
i − |
|
|
i |
|
|
|
|
i − |
|
|
|
|
i |
|
i − |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
ξi [xi −1, xi |
]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
f |
|
x |
− |
1 |
|
||||
ϕi |
= |
i |
|
|
|
i |
2 |
|
|
|
||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
i−1 |
− |
f xi− |
1 |
|
|||||
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
f |
′(ξ |
|
) x − x |
|
|
||||||
= ∫ |
|
|
1 |
|||||||||
|
x |
|
|
|
i |
|
|
|
i− |
|
||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
f ′(ξ |
|
) x − x |
i− |
1 |
|
+ |
|
|
f ′′(ξ |
|
) x − x |
i− |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
i |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
i |
2 |
|
|
dx = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ |
|
|
f ′′(ξ |
i |
) x − x |
i− |
1 |
|
dx = |
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
53
|
f ′(ξi |
) |
x − x |
|
|
2 |
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
f ′′(ξ |
|
) x − x |
|
3 |
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
−1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
f ′(ξi |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
− x |
i− |
1 |
|
|
|
− |
xi−1 |
− x |
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
f ′′(ξ |
) x − x |
|
|
|
|
|
|
|
− |
x − x |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i−1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку x − x |
|
|
|
|
|
= |
|
|
h |
и x |
|
|
− x |
|
= − |
h |
, то |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i − |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
i −1 |
|
|
|
i − 1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ϕ |
|
= |
1 |
|
f |
′′(ξ |
) |
h |
3 |
+ |
h |
3 |
= |
|
h3 |
|
|
f ′′(ξ |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′′(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Пусть M = max |
|
|
|
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [a,b |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
h |
3 |
|
|
|
f ′′(ξi ) |
|
|
|
|
|
h |
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
h |
3 |
|
|
|
|
|
Mh |
2 |
(b − a) , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Ψn |
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
M |
∑1 = |
|
|
|
Mn = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
i=1 |
|
|
24 |
|
24 |
|
т.е. формула средних прямоугольников имеет второй порядок точности. При уменьшении шага в k раз погрешность уменьшится пропорционально квадрату шага, т.е. в k 2 раз.
5.3. Формула трапеций
Во всех рассмотренных формулах площадь криволинейной трапеции под функцией заменялась площадью прямоугольников.
В методе трапеций криволинейная трапеция заменяется на прямоугольную (рис. 2.3) путем интерполяции функции при помощи кусочно-линейной зависимости. Площадь полученной прямоугольной трапеции вычисляется по известной формуле:
xi |
f (xi −1 ) + f (xi ) |
|
|
|
|||
∫ f (x)dx ≈ |
|
(xi − xi −1 ) . Тогда интеграл находится по |
|||||
|
|
|
|||||
xi−1 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
(xi −1 ) + f |
(xi ) |
|
|||
|
|
n |
(xi − xi −1 ) . |
||||
формуле In |
= ∑ |
f |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
i =1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
54 |
Формула трапеций может быть также получена путем замены подынтегральной функции интерполяционным полиномом первой степени:
L1,i (x) = 1 [(x − xi −1 ) f (xi ) − (x − xi ) f (xi −1 )]. h
Предположим, что шаг по пространству постоянен и равен h. Тогда
xi
∫ L1,i (x)dx = 1 h
xi−1
= 1 f (xi )h2 −
2h
xi |
|
|
|
|
|
xi |
|
|
∫(x − xi −1 ) f (xi )dx − |
1 |
∫(x − xi |
) f (xi −1 )dx = |
|||||
h |
||||||||
xi−1 |
|
|
|
|
|
xi−1 |
|
|
1 |
f (x |
−1 |
)(− h2 )= |
f (xi )+ f (xi −1 ) |
h. |
|||
|
|
|||||||
2h |
i |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
Рис. 2.3. Метод трапеций
Приближенное значение интеграла на отрезке [a,b] будет равно:
∫ f (x)dx = ∑ |
∫ f (x)dx = ∑ f (xi )+ f (xi−1 ) h . |
||||
b |
n |
xi |
n |
|
|
a |
i=1 |
xi −1 |
i=1 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
55 |
|
|
Можно показать, что в случае таблично заданной (дискретной) функции формула трапеций совпадает с формулой средних прямоугольников и также имеет второй порядок точности.
Формулу трапеций для случая постоянного шага можно также переписать в виде:
b |
|
f |
|
+ f |
|
|
|
|
0 |
|
n |
∫ f (x)dx = h |
|
|
2 |
|
|
a |
|
|
|
|
n−1 |
|
+ ∑ f (xi |
) . |
i =1 |
|
5.4. Формула Симпсона
xi
При вычислении интеграла ∫ f (x)dx с помощью метода
xi−1
Симпсона (метода парабол) функцию f (x) на локальном отрезке [xi −1, xi ] интерполируют при помощи кусочно-
параболической интерполяции. В этом случае требуется третья точка для построения параболы, и в качестве нее выбирают середину отрезка [xi −1, xi ]. Таким образом, парабола проходит че-
рез |
точки (xi −1 |
|
|
|
|
|
|
(xi , f (xi )), где |
|||
, f (xi −1 )), x |
1 |
, f x |
i − |
1 |
, |
||||||
|
|
xi −1 + xi |
|
i − |
2 |
|
2 |
|
|
||
x |
= |
. Для этих трех точек построим полином Ла- |
|||||||||
|
|||||||||||
i − 12 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
гранжа, который будет иметь вторую степень: f (x) ≈ L2,i (x), x [xi −1, xi ],
L |
|
(x) = |
2 |
x − x |
|
|
(x − x ) f |
i −1 |
− 2(x − x |
)(x − x ) f |
i − 1 |
+ |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2,i |
|
|
|
2 |
i − 1 |
|
i |
|
|
|
|
i −1 |
|
|
i |
2 |
||||||
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(x − x ) x − x |
f |
i |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
i |
|
|
|
i − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь f |
|
= f (x ) , |
f |
|
|
= |
|
|
|
|
f |
|
= f (x |
|
). |
|
|
|||||
|
|
|
f x |
|
, |
i−1 |
i−1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
i |
|
i − 12 |
|
i − 12 |
|
|
|
|
|
|
|
56
Тогда
xi |
xi |
|
2 |
|
xi |
|
|
|
|
∫ |
f (x)dx = ∫ L2,i |
(x)dx = |
|
|
fi −1 |
∫ |
x − xi − 1 |
(x − xi |
)dx − |
h |
2 |
||||||||
xi−1 |
xi−1 |
|
|
|
xi−1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 fi − |
|
|
∫(x − xi −1 )(x − xi )dx + fi ∫ (x − xi |
|
− xi − |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
) x |
1 |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
xi−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
fi −1 ∫ |
x − xi + |
|
|
|
(x − xi )dx − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
h |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xi−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 fi − |
1 |
|
∫(x − xi −1 )(x − xi −1 − h)dx + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
xi−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ fi ∫ |
(x − xi |
) x |
− xi −1 − |
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
xi−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
h3 |
h3 |
|
|
|
|
|
|
|
h3 |
|
h3 |
|
|
|
h3 |
|
|
h3 |
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
− |
|
|
− 2 f |
|
|
|
|
− |
|
|
+ |
f |
|
|
− |
|
|
|
= |
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
h |
|
|
i −1 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
i − 1 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
i |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
fi −1 + 4 fi − 1 |
+ fi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Таким образом, мы получаем формулу Симпсона |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
h |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x)dx = |
|
|
|
∑ |
f |
(xi −1 )+ 4 f |
|
|
i −1 |
|
|
i |
|
+ |
f (xi ) . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
6 i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Можно показать, что формула Симпсона имеет четвертый порядок точности.
Пример 2.1. Вычислить интеграл J = ∫2 (3 − x2 )(1 − x)dx .
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
Найдем |
значение |
определенного интеграла точно: |
||||||
|
x4 |
|
x3 |
|
x2 |
|
b |
|
|
|
|
|
|||||
J = |
− |
− 3 |
+ 3x |
= 5.25. |
||||
|
4 |
|
||||||
4 |
|
2 |
|
a |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
57 |
Разобьем отрезок интегрирования [− 1, 2] на 10 частей, т.е.
h = 2 − (−1) = 0.3 . Проведем интегрирование рассмотрен10
ными численными методами. В результате получим следующие значения:
Название метода |
Приближенное |
Погреш- |
|
значение |
ность |
||
|
|||
Формула левых |
5.7225 |
0.4725 |
|
прямоугольников |
|||
|
|
||
Формула правых |
4.8225 |
0.4275 |
|
прямоугольников |
|||
|
|
||
Формула средних |
5.23875 |
0.01125 |
|
прямоугольников |
|||
|
|
||
Формула трапеций |
5.2725 |
0.0225 |
|
Формула Симпсона |
5.25 |
0 |
Можно заметить, что метод Симпсона дал абсолютно точное значение интеграла. Это связано с тем, что первообразная функция в данном примере является полиномом четвертого порядка, для которого метод Симпсона дает точное значение.
5.5. Численное дифференцирование
Численное дифференцирование, т.е. нахождение значений производных заданной функции y = f (x) в заданных точках x, в
отличие от численного интегрирования, можно считать не столь актуальной проблемой в связи с отсутствием принципиальных трудностей с аналитическим нахождением производных. Однако имеется ряд важных задач, для которых численное дифференцирование является единственным способом нахождения производной. Это, например, поиск производной таблично заданной функции или дифференцирование функции в процессе численного решения, когда значения этой функции известны только в узлах сетки. Кроме того, если при аналитическом диф-
58
ференцировании получаются громоздкие выражения, использование численного подхода упрощает задачу.
Существует несколько способов для получения формул численного дифференцирования, которые в конечном счете могут привести к одним и тем же формулам. Во-первых, можно аппроксимировать таблично заданную функцию каким-либо способом (линейная интерполяция, многочлен Лагранжа, сплайн-функции и т.д.) и дифференцировать полученную непрерывную функцию, приближающую исходную. Во-вторых, для вывода формул численного дифференцирования можно воспользоваться понятием конечных разностей.
Пусть узлы таблицы xi, i = 0, 1, …, N, расположены на равных расстояниях: xi = x0 + ih , fi – соответствующие значения
функции; величину h называют шагом таблицы. Разности значений функции в соседних узлах называют разностями первого порядка. В каждом внутреннем узле xi, i = 1, …, N – 1, можно составить три разности первого порядка: разность вперед
+ fi = fi+1 – f i ,
разность назад:
– fi = fi – f i–1 = + fi–1
и центральную разность
± fi = fi+1 – fi– 1.
Разности высших порядков образуют при помощи рекуррентных соотношений
m fi = ( m−1 fi )= m−1 fi +1 − m−1 fi .
Используя эти формулы, первую производную можно определить тремя разными способами:
f+' (xi ) =
f−'(xi ) =
f±' (xi ) =
fi +1 − fi |
, |
|
(2.1) |
||
|
|
h |
|
||
|
|
|
|
|
|
fi |
− fi −1 |
, |
|
(2.2) |
|
|
|
h |
|
||
|
|
|
|
|
|
fi +1 |
− fi −1 |
. |
(2.3) |
||
|
2h |
|
|||
|
|
|
|
Геометрически вычисление производной по трем этим формулам эквивалентно замене касательной в точке B прямыми
59