Пособие_Бедарев_Федорова_Федорченко

пространстве R m . Векторы z k можно построить по следующей схеме:

Проверим, что векторы ортогональны, т.е. (y2 , z1 )= 0 :

(y2 , z1 )= (x 2 - (x 2 , z1 )× z1, z1 )= (x 2 , z1 )- (x 2 , z1 )× (z1, z1 )= 0 ,

так как (z1 , z1 )= z1 2 =1 . Далее строим z 3 :

y3 = x 3 - (x 3 , z1 )× z1 - (x 3 , z 2 )× z 2 , z 3 = y3

y3

и проверяем, что z 3 ортогонален z 2 , z1 и т.д. Все вновь построенные векторы z k линейно выражаются через x k , и, наоборот,

x k выражается через z k . Ни один из построенных векторов z k не может обратиться в 0. Действительно, пусть на некотором

k-м шаге получен нулевой вектор z k . Поскольку z k линейно выражается через x1 , x 2 , ..., x k , это означает линейную зависи-

мость системы векторов x1 , x 2 , ..., x k , что невозможно, т.к. эти векторы входят в базис.

Тема 3. Линейные операторы, матрицы и их спектр

3.1. Линейные операторы

Оператором, действующим на векторном пространстве X, называется отображение, т.е. правило, по которому элементу x X ставится в соответствие элемент y , принадлежащий, во-

обще говоря, другому пространству Y: y = A x , или

A : X → Y .

Пусть X, Y – линейные пространства; x1, x2 Î X . Оператор A : x → y называется аддитивным, если

A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 "x1, x2 Î X ,

20

и однородным, если

A(λx) = λAx "x Î X "λ Î R .

Оператор А называется линейным, если он аддитивен и однороден, другими словами, если он дистрибутивен:

констант C называется нормой оператора А. Таким образом, имеет место неравенство

Ax £ A × x ,

которое называют условием согласования норм.

Оператор A : X → Y называется непрерывным в точке x X , если для любой последовательности xn Î X , таких, что

xn - x ® 0 . Для линейных операторов непрерывность в одной

n→∞

точке влечет непрерывность во всей области; и непрерывность равносильна ограниченности.

Над линейными операторами можно определить операции

линейных непрерывных операторов с определенными таким образом операциями само образует линейное пространство.

Определим произведение линейных операторов. Пусть A : Y ® Z , B : X ® Y . Оператор C : X ® Z является произведением A и B, если Cx = (A × B)x = A(B x ) . Если A, B – линейные непрерывные операторы, то оператор C = A×B тоже линеен и непрерывен, причем AB £ A × B .

Пусть X – нормированное пространство, определим I – тождественный оператор в X, отображающий любой элемент в себя: I x = x x X . Если A, B : X ® X , A × B : X ® X , и мож-

21

но определить степени оператора: A2 = A × A, A3 = A × A × A и т.д.,

ратор (I - A): X ® X имеет непрерывный обратный опера-

тор, который можно представить в виде бесконечного ряда:

(I - A)−1 = I + A + A2 + ... + Ak + ... ,

во векторов x X, таких, что A x = 0 . Если ядро оператора A

состоит из одного нулевого элемента, то он имеет обратный. Размерность ядра, т.е. число линейно независимых векторов, входящих в ядро, называется дефектом линейного оператора. Образом линейного оператора A : X → Y называется множество всех элементов y = Ax . Рангом линейного оператора назы-

вается размерность образа линейного оператора.

Ранг невырожденного оператора A : R n ® R n равен n, а де-

фект равен 0. Пусть A : Rn ® Rm и размерность ядра оператора равна l. Можно показать, что m + l = n.

22

3.2. Матрицы и операции над ними

Выберем в пространстве базис e1 ,e 2 , ...,e n . Как известно, любой вектор может быть представлен в виде линейной комби-

n

нации векторов базиса x = ∑ x je j . Подействуем на вектор ба-

j=1

зиса e j линейным преобразованием A : R n → R n . Так как результатом будет также вектор из R n , разложим его по базису e1 ,e 2 , ...,e n :

n

A e j = ∑ a kj e k , j = 1, ..., n .

k= 1

Всилу линейности оператора A имеем

j=1

n

разложения по базису имеем y j = ∑ xk a jk , или

k =1

y1= x1a11 + x2a12 + ... + xn a1n y2 = x1a21 + x2a22 + ... + xna2n

...

yn = x1an1 + x2an2 + ... + xnann

23

Таким образом, линейному оператору A в базисе e1 ,e 2 , ...,e n соответствует квадратная матрица (число строк равно числу столбцов), которой присвоим такое же имя:

Важным примером линейного оператора является преобразование y = Ax вектор-столбцов x ÎR n в вектор-столбцы y ÎR m , которое однозначно определяется матрицей из m строк

размерности. Для них можно определить операцию сложения:

Операцию умножения матриц можно определить для матриц

k =1

Можно показать, что для матричных операций справедливо:

·A + B = B + A

·(A + B) + C = A + (B + C)

·(A×B) × C = A × (B × C)

·существование нулевой матрицы O: A + O = A

·существование обратной по отношению к операции сложения матрицы – A, такой, что A + ( – A ) = O

24

·A×B ¹ B×A (нет коммутативности операции умножения)

·существование обратной A –1 для невырожденных мат-

риц A×A–1 = A–1 ×A = I

Невырожденность матрицы означает, что ее определитель отличен от 0: det( A) ¹ 0.

Для матриц можно ввести норму, согласованную с евклидовой нормой векторного пространства:

3.3. Преобразование матрицы при переходе к новому базису

Пусть линейный оператор, отображающий R n ® R m в ба-

R n ® R n . Поскольку это преобразование переводит базис в базис, дефект этого оператора равен 0. Следовательно, оператор С

3.4. Собственные значения и собственные векторы

Как было отмечено выше, вид матрицы линейного преобразования, действующего в пространстве, зависит от базиса. Для каждой матрицы существует некоторый собственный базис, в котором матрица имеет наиболее простую структуру, например, диагональный вид. Для того, чтобы найти такой вид матрицы и соответствующую ей систему координат, введем понятие собственного числа и собственного вектора матрицы.

Пусть A – матрица линейного оператора, отображающего R n → R n . Числовая константа λ называется собственным зна-

Bx = (A − λI )x = 0 ,

где I – единичный (тождественный оператор). Последнее равенство означает, что вектор x принадлежит ядру линейного опе-

26

ратора B = A − λI . Чтобы найти ненулевое решение, необходимо, чтобы определитель матрицы был равен нулю:

Следовательно, чтобы найти собственные значения и собственные векторы матрицы, необходимо решить характеристическое (вековое) уравнение (1.4), а затем подставить полученные значения λ в уравнение (1.3) и, решив систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), найти компоненты собственного вектора. Поскольку матрица СЛАУ вырождена, ее собственный вектор находится с точностью до константы.

Множество всех собственных значений матрицы называется спектром, максимальное по модулю собственное значение

венных значений вычисляется важная характеристика, которая называется обусловленностью матрицы:

cond (A) = A × A−1 = λλ max .

min

При нахождении собственных значений могут возникнуть различные ситуации, например, вековое уравнение не имеет вещественных корней, или некоторые из корней кратные. Кратным собственным значениям может соответствовать один собственный вектор, два или больше линейно независимых собственных вектора. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.1. Найдем собственные значения матрицы

Запишем вековое уравнение:

решением которой будут векторы, у которых 3x1 = 2x2 , на-

откуда x2 = 0, x1 – произвольно, например, x1 = 1 . Второго собственного вектора нет.

28

Пример 1.3. Найти собственные значения и собственные

=(1 - λ)[(-5 - λ)(4 - λ) +18]+ 3[3(4 - λ) -18]+ 3[6(5 + λ) -18] =

=(1 - λ) × [- 2 + λ - λ2 ]+ 3 ×[- 6 - 3λ]+ 3 ×[12 + 6λ] =

=-2 + 2λ + λ - λ2 + λ2 - λ3 -18 - 9λ + 36 +18λ =

=16 +12λ - λ3 = 0

Ищем целочисленные решения кубического уравнения, проверяя значения λ = ±1, ± 2,... . В результате подстановки

Подставляя λ3 = 4 в (1.3), получим систему для определения собственного вектора z :

− 3z1 − 3z2 + 3z3 = 0 3z1 − 9z2 + 3z3 = 0 ,