Вариант 4
1. Определить t – распределение и привести пример статистики, которая имеет распределение Стьюдента.
2. Проверьте значимость коэффициента
корреляции по следующим данным:
= 0,2; n = 45;
= 0,05 при альтернативной гипотезе
:
> 0.
3. В следующей таблице приведены данные за 10 лет (1981 – 1990) по количеству вновь регистрируемых фирм (X) и по количеству банкротств (y) в некотором государстве
|
Год |
X |
Y |
|
1981 |
72500 |
1020 |
|
1982 |
72900 |
1290 |
|
1983 |
74150 |
1830 |
|
1984 |
73500 |
2250 |
|
1985 |
78350 |
2500 |
|
1986 |
82500 |
3000 |
|
1987 |
87000 |
4000 |
|
1988 |
86500 |
4200 |
|
1989 |
90000 |
4500 |
|
1990 |
89000 |
4000 |
1) Каково ожидаемое количество вновь регистрируемых фирм в течение года для данного временного интервала; каковы выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение для этого показателя?
2) Вычислите ковариацию и коэффициент корреляции между X и Y. Являются ли эти переменные независимыми? Проверить значимость коэффициента корреляции.
Вариант 5
1. Каким образом может быть задана непрерывная случайная величина?
2. Пусть статистическая гипотеза
состоит в признании продукции предприятия
качественной. Какие последствия имеет,
в данном случае, ошибка 2-го рода?
3. Результаты исследования числа покупателей в универсаме в зависимости от времени работы приведены ниже:
|
Часы работы |
9 - 10 |
10 - 11 |
11 - 12 |
12 - 13 |
|
Число покупателей |
41 |
82 |
117 |
72 |
Можно ли утверждать при уровне значимости
,
что СВ X – число покупателей
подчинена нормальному закону ?
Вариант 6
1. Что такое ошибки 1-го и 2-го рода? Можно ли одновременно уменьшить вероятности этих ошибок?
2. Пусть
—
точечная оценка для M(X)
СВ X. Будет ли эта оценка
несмещенной? Привести соответствующие
доказательства.
3. СВ X распределена по нормальному закону. Статистическое распределение выборки представлено в таблице
|
x |
3 |
5 |
7 |
8 |
9 |
10 |
12 |
13 |
14 |
15 |
17 |
18 |
20 |
21 |
22 |
|
n |
3 |
7 |
4 |
6 |
8 |
10 |
13 |
18 |
14 |
11 |
9 |
7 |
5 |
3 |
2 |
Найти с надежностью 0,98 доверительный интервал для оценки матожидания.
Вариант 7
1. Как вычисляются основные числовые характеристики по результатам выборки: матожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение?
2. Пусть
- уровень значимости. Верно ли, что
вероятность совершения ошибки 2 рода
при проверке статистической гипотезы
равна 1 ─
?
Ответ пояснить графически.
3. Исследуется зависимость между количеством (N) покупателей в ювелирном магазине и количеством (Q) проданных товаров. За 10 дней наблюдений получены следующие данные:
|
N |
50 |
61 |
72 |
43 |
60 |
65 |
76 |
55 |
62 |
40 |
|
Q |
10 |
12 |
20 |
9 |
15 |
15 |
21 |
14 |
18 |
7 |
Оцените наличие и степень линейной зависимости между N и Q.
Вариант 8
1. Какова цель проверки гипотез?
2. Известно, что если X и
Y — случайные величины,
такие что Y = a
+ bX, то
Доказать.
3. Точность работы станка-автомата
проверяется по дисперсии контролируемого
размера изделий, которая не должна
превышать
.
Взята проба из 26 случайно отобранных
изделий, причем получены следующие
результаты измерений:
|
Контролируемый размер изделий пробы |
3,7 |
3,5 |
3,8 |
4,2 |
4,5 |
|
частота |
3 |
6 |
8 |
7 |
2 |
Требуется при уровне значимости 0,05 проверить, обеспечивает ли станок требуемую точность.
Вариант 9
1. Верно ли, что если
,
то СВ X и Y
независимы ? Привести пример на поле
корреляции.
2. Покажите, что при наличии n наблюдений условием того, чтобы обобщенная формула
давала несмещенную оценку для M(X),
является
.
3. При отлаженном процессе производстве шампанского содержимое бутылки 20 унций. Случайным образом было проверено девять бутылок из одной партии, и получены следующие данные: 21,4; 19,7; 20,6; 20,8; 20,1; 19,7; 20,3; 20,9. Предполагая, что генеральная совокупность распределена нормально, протестируйте с 5 %-ным уровнем значимости гипотезу о том, что процесс отлажен.
Вариант 10
1. Какие точки при проверке гипотез называются критическими точками?
2. Вообще говоря, при увеличении размера выборки дисперсия распределения оценки убывает. Правильно ли утверждать при этом, что оценка становится более эффективной?
3. Анализируется размер дивидендов по акциям некоторой компании. Для этого отобраны данные за последние 40 лет: 5, 10, 7, − 5, 3, 10, 15, 10, 5, − 3, − 5, 3, 7, 15, 10, 10, 0, − 2, 5, 10, 5, 7, 10, 8, 8, 4, 3, 7, 8, 9, 10, 5, 7, 8, 9, 4, 10, 9, ─ 5, ─ 3.
а) построить статистический ряд распределения;
а) Каков ожидаемый размер дивидендов?
б) Как можно оценить риск от вложений в данную компанию?
Вариант 11
1. Какая оценка неизвестного параметра
генеральной совокупности называется
состоятельной? Откуда следует, что
— состоятельная оценка M(X)?
2. Покажите, что при наличии n наблюдений условием того, чтобы обобщенная формула
давала несмещенную оценку для M(X),
является
.
3. Поставщик двигателей утверждает, что средний срок их службы равен 900 ч. Для выборки из 17 двигателей срок службы оказался равным соответственно 905; 835; 875; 865; 867; 940; 900; 850; 920; 880; 875; 915; 795; 910; 884; 925; 850 часов. Проверить утверждение поставщика на уровне значимости: а) 5 %; б) 1 %.
Вариант 12
1. Какой знак имеет коэффициент корреляции
судя по диаграмме рассеяния?
y
. . .
….
. ..
.. . .
x
2. Пусть x’ =
−
— точечная оценка для M(X)
случайной величины X.
Будет ли эта оценка несмещенной,
асимтотически несмещенной? Привести
соответствующие доказательства.
3. Станок-автомат заполняет пакеты чипсами по 250 г. Считается, что станок требует подналадки, если стандартное отклонение от номинального веса превышает 5 г. Контрольное взвешивание 10 пакетов дало следующие результаты: 245; 248; 250; 250; 252; 256; 243; 251; 244; 253. Можно ли по этим результатам судить о необходимости подналадки станка?