- •1 Расчёт основных статистических показателей для выборочных совокупностей
- •1. 1 Малая выборочная совокупность
- •Расчет статистических показателей для малой выборочной совокупности
- •Ошибки репрезентативности (представительности)
- •Точность опыта (относительная ошибка опыта)
- •Достоверность статистических показателей (надежность)
- •Доверительный интервал для генеральной средней
- •Необходимое число наблюдений для будущих исследований
- •Статистическое заключение
- •1.2. Большая выборочная совокупность
- •1.2.1 Схематическое представление вариационного ряда
- •1.2.2. Графическое представление вариационного ряда
- •Гистограмма
- •Кумулята
- •Полигон распределения
- •2. 3. Расчет статистических показателей для большой выборочной совокупности
- •По исходным данным
- •По преобразованным данным
- •Ошибки репрезентативности (представительности)
- •Необходимое число наблюдений для будущих исследований
- •Статистическое заключение
- •Расчёт показателей центральной тенденции
- •Расчёт показателей скошенности и крутизны рада распределения
- •2.0 Теоретические законы распределения случайных величин
- •Расчет теоретических частот для кривой нормального распределения
- •3. Критерии оценки статистических гипотез
- •Критерии проверки статистических гипотез
- •Нулевая гипотеза
- •3.1. Статистическое сравнение эмпирического распределения с теоретическим по критерию χ- квадрат Пирсона
- •Статистическое заключение
- •3.2. Статистическое сравнение эмпирического распределения с теоретическим по критерию λ Колмогорова – Смирнова
- •Статистическое заключение
- •3.3. Статистическое сравнение двух эмпирических рядов распределения по критерию λ Колмогорова – Смирнова
- •Статистическое заключение
- •3.4. Статистическое сравнение двух выборочных средних
- •Статистическое заключение
- •3.5. Статистическое сравнение двух выборочных средних
- •Статистическое заключение
- •4.0 Дисперсионный анализ
- •4.1 Схема обработки полученной информации на примере однофакторного, равномерного статистического комплекса
- •Вычисление суммы квадратов отклонений
- •Статистическое заключение
- •5. Корреляционный анализ
- •5.1. Расчё показателей корреляции на примере малой выборочной совокупности
- •Статистическое заключение
- •6.0 Расчет среднеквадратических ошибок
- •Основные свойства ошибок и причины их возникновения
- •Статистическое заключение
- •7.0 Регрессионный анализ Постановка задачи
- •7.1. Линейное уравнение с логарифмированием факторного признака
- •Статистическое заключение
- •7.2. Уравнение гиперболы
- •Статистическое заключение
- •7.3. Уравнение показательной кривой
- •Статистическое заключение
- •Окончательный выбор типа уравнения регрессии
- •Библиографический список
- •Задачи для контрольной работы
Статистическое заключение
Работа по определению запаса глазомерным способом на пробных площадях, вторым таксатором выполнена более точно, так как его ошибка для всех случаев меньше, по сравнению с первым таксатором.
7.0 Регрессионный анализ Постановка задачи
Математические выражения, отражающие причинно-следственные взаимосвязи и взаимодействия в системах (или модели связи) являются основными типами моделей, применяемых в области лесного дела. В качестве математической формы эмпирических моделей связи, в основном, используют регрессионные уравнения и реже – интерполяционные многочлены. В первом случае применяют различные модификации метода наименьших квадратов, позволяющие просто и достаточно надежно оценить статистическим путем разрабатываемую модель. Второй метод сводится к механической процедуре аналитического выражения числовых массивов.
Для вычисления коэффициентов регрессионных уравнений основным методом является метод наименьших квадратов, предложенный в начале XIX в. Лежандром и Гауссом. Требование метода наименьших квадратов заключается в том, что теоретические точки линии регрессии y должны быть получены таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений от этих точек эмпирических значений была минимальной, то есть
7.1. Линейное уравнение с логарифмированием факторного признака
Для вычисления коэффициентов a и b для уравнения прямой с логарифмированием факторного признака
необходимо решить следующую систему уравнений:
Решение системы относительно неизвестных a и b дает численные значения искомых коэффициентов:
Пример: Найти уравнение регрессии, описывающее фактические значения высот по диаметрам в сосновом древостое, используя линейную модель с логарифмированием факторного признака.
Расчет вспомогательных величин для нахождения коэффициентов уравнения приведен в таблице 7.1.
Таблица 7.1 Расчет вспомогательных величин для нахождения коэффициентов a и b
Диаметр, xi , см |
Высота, yi ,м |
yi2 |
ln xi |
(ln xi )2 |
yi×lnxi |
yx = –14,69 + 11,42×ln xi |
yi – yx |
(yi –yx)2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
8 |
9,5 |
90,25 |
2,08 |
4,32 |
19,75 |
9,04 |
0,46 |
0,21 |
12 |
13,4 |
179,56 |
2,48 |
6,17 |
33,3 |
13,66 |
- 0,26 |
0,07 |
16 |
16,3 |
265,69 |
2,77 |
7,69 |
45,19 |
16,95 |
- 0,65 |
0,42 |
и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
360,0 |
264,2 |
6293,90 |
39,19 |
131,74 |
905,02 |
сумма |
-6,65 |
7,81 |
Найдя вспомогательные величины по таблице 7.1 подставляем их в исходные выражения или в формулы определения коэффициентов а и в.
По приведённому примеру коэффициенты а и в соответственно равны:
Полученное уравнение регрессии имеет вид yх = -14,69 + 11,42×ln xi.
Далее в 7 колонке таблицы 7.1 вычисляются высоты деревьев по полученному уравнению: например yx = –14,69 + 11,42×2,08 = 9,04 и так далее.
В 8 и 9 колонках находят расхождение между высотой опытной (колонка 2) и высотой полученной по уравнению (колонка 7) и квадрат этого отклонения.
Проверка значимости уравнения регрессии производим по F – критерию Фишера, который равен отношению общеё дисперсии к дисперсии остаточной.
Например:
При сравнении фактического значения F – критерия с F – критерием стандартным на 5 или 1 % уровне значимости делаем заключение об адекватности модели. Если Fф > Fst, то предложенная модель (уравнение) адекватно предсказывает изменение высот по диаметрам.
Fst берётся из приложения учебника, в зависимости от числа степеней свободы общей дисперсии (большая), и числа степеней свободы остаточной дисперсии (меньшая).
Число степеней свободы для общей дисперсии k1=n-2
Число степеней свободы для остаточной дисперсии k2=n-1
Для приведённого примера: k1=n-2=12-2=10 k2=n-1=12-1=11
Fst для 5 % уровня значимости равно 2,86.
Так как Fф > Fst, то предложенная модель (уравнение) адекватно предсказывает изменение высот по диаметрам.
Представить графически изменение высот от диаметров для оценки адекватности модели по полученному уравнению. Построение графиков по исходным данным пунктирной линией (xi ,yi), по расчетным данным сплошной линией (xi , yx).