Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородская Государственная Сельскохозяйственная Академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

12_148-156.DOC

Скачиваний:

Добавлен:

08.04.2015

Размер:

871 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

§ 2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет общее решение , где и линейно-независимые частные решения этого уравнения.

Общий вид решений однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , зависит от корней характеристического уравнения .

Корни характеристического уравнения	Вид общего решения
Корни и действительные и различные
Корни = = действительные и одинаковые
Корни комплексные ,

Пример

Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни , действительные и различные. Следовательно, общее решение имеет вид: .

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни действительные и одинаковые. Следовательно, общее решение имеет вид: .

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни комплексные. Следовательно, общее решение имеет вид: .

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

, где . (1)

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид , где – частное решение этого уравнения, – общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения .

Вид частного решения неоднородного уравнения (1) в зависимости от правой части :

Правая часть	Частное решение
– многочлен степени	, где – число корней характеристического уравнения, равных нулю.
	, где – число, показывающее, сколько раз = является корнем характеристического уравнения.
	, где – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с .
	где – число корней характеристического уравнения, совпадающих с .

Рассмотрим различные виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения :

1. Пусть правая часть имеет вид , где – многочлен степени . Тогда частное решение можно искать в виде , где – многочлен той же степени, что и , а – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Б) Так как правая часть уравнения является многочленом первой степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю ( ), то частное решение ищем в виде , где и – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды и подставляя , и в исходное уравнение, находим .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства , , находим , . Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение .

2. Пусть правая часть имеет вид , где – многочлен степени . Тогда частное решение можно искать в виде , где – многочлен той же степени, что и , а – число, показывающее, сколько раз является корнем характеристического уравнения.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

Б) Так как правая часть уравнения есть функция , то контрольное число данного уравнения , оно не совпадает с корнями характеристического уравнения . Тогда частное решение ищем в виде , где – неизвестный коэффициент. Дифференцируя дважды и подставляя , и в исходное уравнение, находим . Откуда , то есть или .

Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение .

3. Пусть правая часть имеет вид , где и – данные числа. Тогда частное решение можно искать в виде , где и – неизвестные коэффициенты, а – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с . Если в выражение функции входит хотя бы одна из функций или , то в надо всегда вводить обе функции.