§ 2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет общее решение, гдеилинейно-независимые частные решения этого уравнения.

Общий вид решений однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , зависит от корней характеристического уравнения.

Корни характеристического уравнения	Вид общего решения
Корни идействительные и различные
Корни == действительные и одинаковые
Корни комплексные ,

Пример

Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

1)

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни ,действительные и различные. Следовательно, общее решение имеет вид:.

2)

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни действительные и одинаковые. Следовательно, общее решение имеет вид:.

3)

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни комплексные. Следовательно, общее решение имеет вид:.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

, где . (1)

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид, где– частное решение этого уравнения,– общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения.

Вид частного решения неоднородного уравнения (1) в зависимости от правой части:

Правая часть	Частное решение
–многочлен степени	, где – число корней характеристического уравнения, равных нулю.
	, где – число, показывающее, сколько раз=является корнем характеристического уравнения.
	, где – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с.
	где – число корней характеристического уравнения, совпадающих с.

Рассмотрим различные виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения :

1. Пусть правая часть имеет вид , где– многочлен степени. Тогда частное решениеможно искать в виде, где– многочлен той же степени, что и, а– число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение. Найдем корни последнего уравнения. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид.

Б) Так как правая часть уравнения является многочленом первой степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю (), то частное решение ищем в виде, гдеи– неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дваждыи подставляя,ив исходное уравнение, находим.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства,, находим,. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид, а его общее решение.

2. Пусть правая часть имеет вид , где– многочлен степени. Тогда частное решениеможно искать в виде, где– многочлен той же степени, что и, а– число, показывающее, сколько разявляется корнем характеристического уравнения.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение. Найдем корни последнего уравнения. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид.

Б) Так как правая часть уравнения есть функция , то контрольное число данного уравнения, оно не совпадает с корнямихарактеристического уравнения. Тогда частное решение ищем в виде, где– неизвестный коэффициент. Дифференцируя дваждыи подставляя,ив исходное уравнение, находим. Откуда, то естьили.

Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение.

3. Пусть правая часть имеет вид , гдеи– данные числа. Тогда частное решениеможно искать в виде, гдеи– неизвестные коэффициенты, а– число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с. Если в выражение функциивходит хотя бы одна из функцийили, то внадо всегда вводитьобе функции.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение. Найдем корни последнего уравнения. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид.

Б) Так как правая часть уравнения есть функция , то контрольное число данного уравнения, оно не совпадает с корнямихарактеристического уравнения. Тогда частное решение ищем в виде

, где и– неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды, получими. Подставляя,ив исходное уравнение, находим

.

Приводя подобные слагаемые, получим

.

Приравниваем коэффициенты при ив правой и левой частях уравнения соответственно. Получаем систему. Решая ее, находим,.

Итак, частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .