Глава 8. Дифференциальные уравнения

Общие понятия

Определение 1. Уравнение, связывающее между собой независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков, называется дифференциальным уравнением. Общий вид дифференциального уравнения .

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение искомой функции.

Определение 3. Решением дифференциального уравнения называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Решить дифференциальное уравнение – это значит найти все его решения. График решения называется интегральной кривой.

Определение 4. Общим решением дифференциального уравнения называется решение, содержащее столько независимых постоянных , каков порядок этого уравнения.

Определение 5. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения при фиксированных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.

Для выделения из общего решения частного задают некоторые дополнительные условия, которые называются начальными условиями.

§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными имеют вид .

Если ни одна из функций не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения наоно приводится к виду.

Почленное интегрирование приводит к соотношению , которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называютобщим интегралом этого уравнения.

Пример

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию.

Решение:

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим обе части уравнения на функции и. Получим. Проинтегрируем это равенство:, получим.

Здесь в качестве произвольной постоянной взяли (С =const).

Общее решение уравнения можно записать в виде .

Выделим из полученного общего решения частное решение, исходя из начального условия . Подставляя эти значения в общее решение, получаемили. Следовательно, частное решение задается уравнениемили.

Последнее уравнение задает на плоскости гиперболу. Нетрудно убедиться, что общее решение данного дифференциального уравнения задает семейство гипербол.

2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли

Уравнение вида называетсялинейным (ивходят в первых степенях, не перемножаясь между собой).

Если , то уравнение называетсялинейным неоднородным.

Если , то уравнение называетсялинейным однородным (д. у. с разделяющимися переменными).

Уравнение (нелинейное) вида , где,называетсяуравнением Бернулли. Данные уравнения можно интегрировать методом Бернулли, т.е. с помощью подстановки , где, – неизвестные функции.

Пример

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям.

Решение: Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Полагаем , где,- неизвестные функции,. Подставляяив исходное уравнение, имеем.

1) Подберем функцию так, чтобы выражение, содержащееся в скобках, обращалось в нуль, т.е., откуда. После интегрирования получаем(постоянную интегрирования берем равной нулю).

2) Для определения функции имеемили, т.е., откуда.

3) Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

.

4) Используя начальное условие, вычисляем значение постоянной :

, т.е. .

Поэтому частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию, имеет вид

.