Кол. методы МБА 2012 / 2. Оптимизация / Книжка по ЛП / 4. Анализ опт. реш. 45-58

Двойственные задачи составляются по следующим правилам.

•В одной задаче ищется максимум целевой функции, в другой минимум.

•Коэффициенты целевой функции обратной задачи являются правыми частями ограничений исходной.

•Все неравенства системы ограничений в задаче на максимум имеют вид ≤, в задаче на минимум ≥.

•В обеих задачах переменные неотрицательны.

•Число переменных двойственной задачи равно числу ограничений исходной.

Для классической задачи линейного программирования сказанное иллюстрируется табл. 4.3.

55

Таблица 4.3.

Решением исходной задачи является оптимальная производственная программа, решением двойственной – теневые цены ресурсов. Полезность результатов, получаемых при решении двойственной задачи, обосновывается в теории линейного программирования, где доказывается ряд важных теорем [5, 10]. Для практического анализа и понимания смысла теневых цен наиболее важна следующая, так назы-

ваемая, первая (основная) теорема двойственности.

Если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая задача, причем оптимальные значения их целевых функций равны

Именно такой результат был получен выше в примере 4.1. Выясним смысл этого равенства.

Так как

Z *min = b1y1 +b2y2 +K+bmym ,

где b1, b2,K, bm запасы ресурсов, которыми располагает производитель, а y1, y2,K, ym – теневые цены этих ресурсов, то, с учетом

(4.8), получаем формулу, устанавливающую взаимосвязь

56

оптимального значения целевой функции (оптимального решения) с запасами ресурсов и их теневыми ценами.

Поскольку

Zmax = Z *min = b1y1 +b2y2 +K+bmym ,

то

Зная теневые цены, по формуле (4.9) легко оценить (вычислить) – на сколько возрастет или уменьшится оптимальное решение – значение Zmax , если запас какого-либо ресурса bi увеличить или

уменьшить на определенную величину. Иначе говоря, соотношение (4.9) дает возможность количественно оценить

•влияние запаса каждого ресурса на целевую функцию,

•ценность каждого ресурса с точки зрения его вклада в доходность.

При проведении анализа на основе формулы (4.9) следует помнить, что изменять величину запасов можно только в некоторых допустимых границах, о которых говорилось выше в п.п. 4.3.

Предположим, что запас одного из ресурсов, например bi , изменяется на величину ∆bi , а запасы остальных ресурсов остаются низмен-

ными. Тогда доход (оптимальное значение целевой функции) изменится на величину

∆Zmax = ∆biyi .

Или, записав это равенство иначе, получаем

Смысл соотношения (4.10) в следующем.

Теневая цена показывает, на какую величину изменится максимальный доход (оптимальное значение целевой функции) при изменении запаса соответствующего ресурса на единицу.

Таким образом.

•Решение двойственной задачи и ее оптимальное решение – набор теневых цен, позволяет дополнить анализ оптимальных решений количественной оценкой вклада каждого из ресурсов в доходность.

•Теневые цены показывают, на какую величину изменится максимальный доход (оптимальное значение целевой функции) при изменении запаса соответствующего ресурса на единицу.

57

Полезность двойственной задачи не исчерпывается только соотношениями (4.9), (4.10). Другие теоремы [10] позволяют использовать ее для рационализации процедур решения исходной задачи, в тех случаях, когда число ограничений значительно превышает число переменных. Впервые проблему двойственности сформулировал и исследовал академик Л.В. Канторович, удостоенный в 1975г. Нобелевской премии по экономике за выдающийся вклад в теорию оптимизации и линейного программирования.

58