5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В MS EXCEL С ПОМОЩЬЮ НАДСТРОЙКИ «ПОИСК РЕШЕНИЯ»

5.1. Общие сведения о надстройке «Поиск решения».

Наряду с хорошо известными возможностями Excel* по проведению расчетов с помощью библиотеки встроенных стандартных функций – математических, статистических, финансовых и других, дополнительные возможности для моделирования представляют так называемые надстройки. Надстройки – это особые приложения, позволяющие расширить стандартные возможности Excel. Они созданы в виде самостоятельных программных модулей, которые связываются с Excel специальной программой, встроенной в Excel и написанной на языке Visual Basic. Обе программы взаимодействуют на основе внутреннего интерфейса. Информация, введенная в электронную таблицу, переносится в соответствующий программный модуль, обрабатывается там и затем возвращается на рабочий лист в виде результатов. Такая организация работы позволяет до-

полнить Excel новыми вычислительными возможностями и рационализировать процедуры вычислений. Любую надстройку при необходимости можно активизировать и после проведения вычислений, выгрузить из памяти. Для моделирования в бизнесе наибольший интерес представляют две надстройки -

* Дальнейшее изложение предполагает, что оптимизация проводится в версиях

MS Excel 97 и выше.

59

«Пакет анализа» и «Поиск решения» - Рис 5.1. «Пакет анализа» – это набор программ по обработке статистики и прогнозированию. Надстройка «Поиск решения» предназначена для оптимизации линейных

инелинейных моделей при наличии ограничений и без них. Для решения задач линейного программирования в ней используется оптимизационный алгоритм симплекс метода.

«Поиск решения» – разработка компании Frontline Systems, Inc. (http://www.solver.com). Ею создано несколько версий программы, одна из которых входит в состав стандартной комплектации MS Excel

ипозволяет решать задачи, содержащие до 200 переменных. В оригинальной англоязычной версии надстройка носит название Solver. Для сложных задач с большим количеством переменных и ограничений (до 1000) существует более мощная версия программы – Premium Solver, обладающая и более высоким быстродействием. Она предлагается компанией Frontline Systems, Inc. на коммерческой основе.

«Поиск решения» не появляется в меню Excel автоматически при установке Microsoft Office или Excel на компьютер. Для активации надстройки необходимо в пункте меню «Сервис» выбрать пункт «Надстройки» и в открывшемся диалоговом окне (рис. 5.1.) поставить флажок в окошке «Поиск решения». После чего в пункте меню «Сер-

Рис. 5.2.

вис» появится строка «Поиск решения...» (рис. 5.2.). В дальнейшем

60

вызов надстройки можно выполнять командами Сервис ¾ Поиск ре-

шения....

5.2. Ввод информации о модели линейного программирования в надстройку «Поиск решения»

Запуск программы по команде Сервис ¾ Поиск решения... открывает диалоговое окно (рис. 5.3.).

Рис. 5.3.

По терминологии, используемой в надстройке, «Целевая ячейка»

– это ячейка, в которую записана формула для вычисления целевой функции. Термин «Изменяемые ячейки» - используется для тех ячеек, в которых расположены переменные решения x1, x2,Kxn .

Вполе «Установить целевую ячейку:» указывается адрес ячейки,

вкоторой записана формула для вычисления целевой функции. В зависимости от типа задачи линейного программирования (на максимум или на минимум), в соответствующем поле устанавливаются флажки

«Равной: максимальному значению» либо «Равной: минимальному значению». Для тех задач, где требуется, чтобы целевая функция была

вточности равна некоторому значению, ставится флажок у надписи «Равной: значению:» и в поле справа устанавливается это требуемое значение (подобные задачи относятся к классу задач на подбор параметров).

61

Поле «Изменяя ячейки:» предназначено для ввода адресов тех ячеек, куда помещены переменные решения x1, x2,Kxn . Их значения

изменяются в процессе поиска решения до тех пор, пока не будут выполнены наложенные ограничения и условие оптимизации, указанное в поле «Установить целевую ячейку».

Для записи ограничений в диалоговом окне «Поиска решения» предусмотрено поле «Ограничения:». Ввод каждого из ограничений производится с помощью кнопки «Добавить». После ее нажатия появляется окно «Добавление ограничения» (рис. 5.4.).

Рис. 5.4.

Адреса ячеек рабочего листа Excel, в которых записаны формулы для вычисления левых частей ограничений, записываются в левом поле «Ссылка на ячейку:». Адреса ячеек, в которых записаны константы (числовые значения) для правых частей соответствующих ограничений, вносятся в правое поле «Ограничение:». Знаки ограничений « <= », « = », « >= » и др. вводятся в среднем поле. Для ввода каждого нового ограничения следует нажать клавишу «Добавить» и повторить процедуру. После завершения ввода необходимо нажать клавишу OK и программа вернется в основное окно «Поиск решения» (рис. 5.3.), где в поле «Ограничения:» появятся введенные условия. Внести изменения или удалить любое из ограничений можно клави-

шами «Изменить» и «Удалить» (рис. 5.3.).

Поскольку надстройка «Поиск решения» предназначена для решения не только линейных оптимизационных задач, но и для решения задач нелинейного программирования, то ей нужно «указать», какая из задач будет решаться. Для этого следует нажать кнопку «Пара-

метры» (рис. 5.3.) и перейти на вкладку «Параметры поиска реше-

ния» (рис. 5.5.). Для задач линейного программирования в открывшемся диалоговом окне необходимо установить флажок «Линейная модель». Для задания условия неотрицательности переменных устанавливается флажок «Неотрицательные значения». Условие неотрицательности переменных можно было задать также и в окне «Огра-

62

ничения» (рис.5.4.). Однако делать это следует только в одном месте. Дублирование условий неотрицательности может приводить к ошибкам в работе программы.

Флажок «Автоматическое масштабирование» устанавливать крайне желательно, особенно в тех задачах, где масштаб переменных решения существенно отличается друг от друга (граммы и тонны, рубли и миллионы рублей и т.д.). В этом случае программа автоматически масштабирует переменные для избежания ошибок округления.

Рис. 5.5.

Остальные значения параметров можно оставлять такими, какими они заданы по умолчанию в диалоговом окне. Подробное описание и содержательный смысл всех параметров программы «Поиск решения» дан в Приложении.

5.3. Решение задач линейного программирования с помощью надстройки «Поиск решения»

Для иллюстрации алгоритма решения задач линейного программирования рассмотрим следующий пример.

Пример 5.1.

Мебельная фабрика выпускает три вида изделий: шкафы, тумбочки и столы, – расходуя для их производства ресурсы четырех типов: ДСП, фанеру, стекло, крепежные изделия. Нормы расхода ресурсов на

63

одно изделие каждого типа (удельные расходы ресурсов на единицу продукции) и суточные запасы, которыми располагает фабрика, приведены в табл. 5.1. (цифры условные).

Таблица 5.1.

Кроме того, известна прибыль от реализации одного изделия каждого типа ( в у.е.) – табл. 5.2.

Таблица 5.2.

Требуется:

1)Найти производственную программу – объемы выпуска шкафов, тумбочек и стульев, обеспечивающую максимальную прибыль.

2)Установить размеры максимальной прибыли в случаях

yуменьшения запаса ресурса «ДСП» на 6 единиц,

yувеличения запаса ресурса «Фанера» на 4 единицы.

3) Оценить целесообразность введения в план производства нового (четвертого) изделия (например, стульев), нормы затрат ресурсов на единицу которого составляют 1, 2, 0, 2, а прибыль от реализации 15 у.е./шт.

Решение

Обозначим через x1, x2 , x3 искомую производственную програм-

му – объемы выпуска (штук) шкафов, тумбочек и столов. Тогда математическая модель задачи оптимизации примет вид

при ограничениях

64

Для решения создадим на рабочем листе Excel две таблицы (рис. 5.6.). Общих рекомендаций и единых правил по табличному представлению задач линейного программирования в Excel не существует. Полезно придерживаться общего правила: табличная версия любой оптимизационной модели в Excel должна быть удобной для чтения, правки и анализа результатов.

Рис. 5.6.

Выделим на рабочем листе Excel ячейки B4, C4, D4 (массив B4:D4) для переменных решения x1, x2 , x3 . В ячейку E4 запишем формулу

(5.1) для вычисления целевой функции. Так как целевая функция равна сумме попарных произведений коэффициентов целевой функции c1,c2 ,c3 на соответствующие переменные решения x1, x2 , x3, то

формулу в ячейке E4 удобно записать с помощью стандартной функции Excel СУММПРОИЗВ (Вставка ¾ Функция ¾ Математические ¾ СУММПРОИЗВ) - рис.5.7.

65

ходы ресурсов. Следовательно, для записи формулы здесь также целесообразно применить стандартную функцию Excel СУММПРОИЗВ.

Первое ограничение системы (5.2) имеет вид x1 +2x2 +x3 ≤18.

Левая часть ограничения – это сумма попарных произведений чисел {1, 2, 1} на x1, x2 , x3 , т.е. удельных расходов ресурса ДСП на объемы

производства каждого изделия. Так как удельные расходы для ДСП {1, 2, 1} расположены в ячейках B8:D8, а производственная программа x1, x2 , x3 (объемы выпуска изделий) расположена в ячейках

B4:D4, то для вычисления левой части ограничения в ячейку E8 записываем формулу

=СУММПРОИЗВ($B$4:$D$4;B8:D8).

Знак абсолютной ссылки - $ (клавиша F4) добавлен к адресам ячеек B4:D4 для того, чтобы записанную один раз формулу можно было скопировать в нижерасположенные ячейки E9:E11 для вычисления левых частей других ограничений.

Рис. 5.8.

После того, как вся необходимая информация размещена на рабочем листе, можно переходить к решению оптимизационной задачи с помощью надстройки «Поиск решения» (Сервис ¾ Поиск решения...).

В открывшемся диалоговом окне (рис. 5.8.), вводим адрес целевой ячейки - E4 (поле «Установить целевую ячейку») и адреса массива ячеек B4:D4, в которых содержатся переменные решения - x1, x2 , x3

(поле «Изменяя ячейки»). Устанавливаем флажок «Равной: макси-

мальному значению».

67

Устанавливаем параметры поиска решения, необходимые для

Рис. 5.9.

решения задачи линейного программирования – кнопка Параметры ¾ переход в окно «Параметры поиска решения» (рис. 5.9.). Устанав-

ливаем флажки - Линейная модель, Неотрицательные значения, Автоматическое масштабирование. После установки параметров нажатием кнопки ОК возвращаемся в основное диалоговое окно -

рис.5.8.

Для ввода ограничений используем кнопку Добавить и переходим в окно «Добавление ограничений» – рис. 5.10.

Рис. 5.10.

Для рассматриваемой модели это можно сделать двумя способами - вводя поочередно каждое ограничение системы или введя сразу массивы левых и правых частей ограничений («Поиск решения» это до-

68