2. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

2.1. Введение

Задачи линейной программирования были впервые сформулированы в 30-х годах прошлого столетия. Большая роль в создании теории и разработке методов их решения принадлежит российским ученым: А.Н.Толстому (первая постановка задачи по формированию оптимального плана перевозок – 1930г.), академику Л.В. Канторовичу (систематические исследования и разработка общих методов решения

– 1939 г.), М.К. Гавурину (совместно с Л.В. Канторовичем в 1949 г. метод потенциалов для решения транспортных задач), В.В. Новожилову, А.Р. Лурье, академику А.Г. Аганбегяну, Д.Б. Юдину и многим другим. Среди зарубежных ученых необходимо отметить Б. Эгервари, Г.У. Куна (задачи о назначениях, транспортная задача, «Венгерский метод» - 1931 г.), Дж. Данцига (автора симплекс метода 19471949 гг.).

Модели линейного программирования отличаются относительной простотой и понятным содержательным смыслом. Их использование во многих практически важных задачах, связанных с принятием решений, показало высокую эффективность. Благодаря этому они получили довольно широкое распространение. К числу наиболее известных задач линейного программирования относятся следующие.

•Задачи о распределении ограниченных ресурсов (задачи оптимального планирования).

•Задачи об оптимальной корзине продуктов (задачи о диете, задачи оптимального смешения).

•Задачи оптимального раскроя (материалов, заготовок).

•Транспортные задачи.

•Задачи о назначениях.

Втеории линейного программирования перечисленные задачи часто называют классическими. Их традиционно считают «базовыми», или основными, поскольку большинство реальных управленческих ситуаций, сформулированных в терминах линейного программирования, как правило, относится к одному из вышеприведенных типов.

18

2.2. Задача о планировании производственной программы предприятия

Предприятие может выпускать n видов продукции P1, P2, … Pn , располагая для этого m различными ресурсами R1, R2,…Rm в количествах b1, b2, … bm соответственно. Известно, что для выпуска единицы продукции Pj необходимо затратить a ij единиц ресурса Ri ,

i=1,2,…m; j=1, 2, … n. Кроме того, известен доход от продажи единицы каждого вида продукции - c1, c2 ,...cn соответственно, где c j -

стоимость единицы продукта Pj , например, 1 штуки, 1 тонны и т.д.

Требуется так спланировать производственную программу – объемы выпуска каждого вида продукции (в штуках, тоннах и т.д.), чтобы максимизировать доход предприятия.

Для удобства дальнейших выводов и рассуждений сведем исходную информацию в единую таблицу 2.1, где через x j обозначим объ-

емы продукции P j , выпускаемой предприятием. Тогда набор пере-

менных {x1, x2,Kxn} представляет собой не что иное, как производственную программу предприятия.

Таблица 2.1.

Доход, полученный предприятием при производстве продукта Pj в количестве x j , составит c jx j, а при реализации производственной программы {x1, x2,Kxn} будет равен величине

19

Z = c1x1 +c2x2 +K+cnxn .

Подсчитаем, какое количество ресурсов будет израсходовано, если выбрать некоторый план {x1, x2,Kxn}.

Ресурса R1 потребуется: a11x1 +a12x2 +K+a1nxn , в то время, как в наличии имеется - b1.

Ресурса R2 потребуется: a21x1 +a22x2 +K+a2nxn , в то время, как в наличии имеется - b2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ресурса Rm потребуется: am1x1 +am2x2 +K+amnxn , в то время, как в наличии имеется - bm.

Очевидно, что производственная программа может быть выполнена только в том случае, если имеющихся ресурсов будет достаточно, т.е. при выполнении условий

Кроме того, понятно, что переменные решения x1, x2,Kxn долж-

ны быть неотрицательными числами, т.е.

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,Kxn ≥ 0 .

Объединяя полученные результаты, получаем следующую задачу линейного программирования.

Требуется найти совокупность значений {x1, x2,Kxn}, обращающих в максимум целевую функцию

при условии, что переменные {x1, x2,Kxn} удовлетворяют системе ограничений

20

Пример 2.1.

Химическая фабрика выпускает три разновидности стирального порошка марок A, B, C. Доход от реализации 1 килограмма порошка каждого наименования известен и составляет, соответственно сA=10, сB=12, cС=8 рублей. Недельные запасы и удельные расходы ресурсов, необходимых для производства 1 кг порошка каждой марки, приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2.

Требуется построить оптимизационную модель, позволяющую так спланировать производственную программу (объемы выпуска порошка каждой марки), чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Решение

Обозначим через xA , xB , xC недельные объемы выпуска стираль-

ных порошков марок A, B, C (кг). Тогда доход от реализации порошков при производственной программе xA , x B , xC

Z = cA xA +cB xB +cC xC ,

или

Z =10xA +12xB +8xC .

Подсчитаем расходы ресурсов, необходимые для выполнения производственной программы xA , x B , xC .

•«Сырья» будет израсходовано 1,4xA +1,2xB +1,5xC (кг) при запасе, равном 15 000 кг. Следовательно, для того, чтобы программу

можно было реализовать, необходимо выполнить условие

1,4xA +1,2xB +1,5xC ≤15000 .

21

•Расход ресурса «оборудование» составит 0,2x A +0,7x B +0,3xC нормо-часов при запасе 2 300 нормо-часов. Следовательно, при выборе производственной программы необходимо выполнить условие

0,2xA +0,7xB +0,3xC ≤ 2300.

•Расход ресурса «трудозатраты» составит 0,3x A +0,2x B +0,1xC человеко-часов при запасе 1600 человеко-часов. Следовательно, при поиске оптимальной программы должно выполняться условие

0,3x A +0,2x B +0,1xC ≤1600.

•Кроме того, переменные xA , xB , xC не могут принимать отрицательных значений, т.е. x A ≥ 0, x B ≥ 0, x C ≥ 0 .

Объединяя результаты, получаем следующую задачу линейного программирования. Необходимо сформировать такую производственную программу xA , xB , xC (определить объемы выпуска продукции

каждой марки), при которой целевая функция (доход от реализации)

Z =10xA +12xB +8xC

будет максимальной, при условии, что переменные xA , xB , xC удовлетворяют системе ограничений

1,4xA +1,2xB +1,5xC ≤15000,0,2xA +0,7xB +0,3xC ≤ 2300,0,3xA +0,2xB +0,1xC ≤1600,

x A ≥ 0, x B ≥ 0, x C ≥ 0 .

Заметим, что и целевая функция и ограничения в рассмотренном примере линейны относительно переменных xA , xB , xC . Следова-

тельно, это задача линейного программирования.

2.3. Задача об оптимальной корзине продуктов (задача о диете)

Медициной установлена суточная потребность организма в питательных веществах T1, T2, … Tm (белки, жиры, углеводы и т.д.), а

22

именно: человеку они необходимы в количествах не менее чем b1, b2, … bm некоторых условных единиц (например, миллиграмм). В прода-

же имеются продукты питания П1, П2, … Пn, стоимость которых известна и равна c1, c2 ,...cn (где c j - стоимость единицы продукта Пj ,

например 1 кг, 1 литра, 1 упаковки и т.д.). Известно также, что питательное вещество Ti содержится в единице продукта Пj в количестве

aij единиц (i=1,2,…m; j=1, 2, … n.).

Требуется составить продуктовую корзину с минимальной стоимостью, т.е. определить количество продуктов каждого вида {x1, x2 ,Kxn }, которые следует приобрести, для того, чтобы, с одной

стороны, удовлетворить суточную потребность организма в питательных веществах, а с другой израсходовать при этом минимум средств. Исходная информация, необходимая для формулировки задачи приведена в таблице 2.3.

Таблица 2.3.

Обозначим стоимость искомой корзины через Z. Тогда для некоторого продуктового набора {x1, x2 ,Kxn }

Z =c1x1 +c2x 2 +K+cn x n .

Подсчитаем количество каждого питательного вещества Тi, i=1,2,…m, содержащегося в корзине {x1, x2 ,Kxn }.

23

•Вещества Т1 содержится: a11x1 +a12x2 +K+a1nxn , в то время, как его должно быть не менее, чем b1.

•Вещества Т2 содержится: a21x1 +a22x2 +K+a2nxn , в то время, как его должно быть не менее, чем b2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

•Вещества Тm содержится: am1x1 +am2x2 +K+amnxn , в то время, как его должно быть не менее, чем bm.

•Кроме того, из смысла задачи следует, что переменные решения

{x1, x2 ,Kxn } не могут быть отрицательными числами, т.е.

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,Kxn ≥ 0 .

В результате приходим к следующей задаче линейного программирования. Необходимо найти такой набор значений для переменных {x1, x2 ,Kxn }, которые обращают в минимум целевую функцию

и одновременно удовлетворяют системе ограничений

Как и ранее, целевая функция и ограничения линейны, следовательно, это задача линейного программирования.

Пример 2.2.

Месячная потребность организма в витаминах и питательных веществах типов A, B, C указана в таблице 2.4 (цифры условные). Содержание A, B, C в 1 килограмме доступных покупателю фруктов – яблок, апельсинов, бананов и лимонов - указано в табл. 2.4. Требуется построить оптимизационную модель для того, чтобы определить, какие продукты и в каких количествах следует покупать для удовлетворения потребности организма в витаминах и питательных веществах

24

A, B, C, при условии, что стоимость продуктового набора должна быть минимальной.

Таблица 2.4.

дуктов каждого вида (в кг). Тогда стоимость продуктового набора будет равна

Z = 45x1 +60x2 +70x3 +80x4 .

Содержание A в продуктовом наборе будет равно x1 +0 x2 +2x3 +5x4 . Причем, согласно требованиям, его количество

должно быть не менее 50. Тогда получаем первое ограничивающее условие – набор продуктов x1, x 2 , x3, x4 должен быть таким, чтобы

обеспечить количество A не менее чем 50 условных единиц x1 +0 x2 +2x3 +5x4 ≥50.

Рассуждая аналогично, получим ограничивающие условия по другим компонентам.

• 3x1 +5x2 +0 x3 +4x4 ≥ 60 - ограничение по удовлетворению потребности в B.

• 0 x1 +4x2 +7x3 +0 x4 ≥ 40 - ограничение по удовлетворению

потребности в C.

Кроме того, переменные x1, x 2 , x3, x4 не могут быть отрицатель-

ными числами. Следовательно,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x 4 ≥ 0 .

Объединяя полученные результаты, получаем следующую оптимизационную задачу.

Необходимо найти такой набор значений переменных x1, x 2 , x3, x4 (количества продуктов каждого вида), который обраща-

ет целевую функцию (стоимость продуктового набора) в минимум

25

Z = 45x1 +60x2 +70x3 +80x4 min

и при этом удовлетворяет системе ограничений

x1 +0 x2 +2x3 +5x4 ≥ 50,3x1 +5x2 +0 x3 +4x4 ≥ 60,

0 x1 +4x2 +7x3 +0 x4 ≥ 40, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x 4 ≥ 0 .

Так как и целевая функция и ограничения линейны, то это задача линейного программирования.

2.4. Формы записи задач линейного программирования

Несмотря на различный содержательный смысл, в рассмотренных задачах много общего, а именно: линейность целевой функции и ограничений, а также условие неотрицательности переменных. Отличие заключается в знаках неравенств и целях оптимизации – в одном случае требуется максимизировать целевую функцию, в другом – минимизировать.

Что касается знака неравенств в ограничениях (больше, меньше или равно), то в задачах, как первого, так и второго типа они могут быть любыми, в зависимости от реальных условий. Например, при формировании производственной программы часто присутствуют условия выполнения уже подписанных контрактных обязательств, на-

пример, продукцию Pк, нужно поставить в количестве не менее, чем dk. Тогда к системе ограничений (2.2) по ресурсам будет добавлено дополнительное ограничение по выполнению обязательств

xk ≥ dk .

Если ставится требование израсходовать один из ресурсов полностью, то соответствующее ограничение будет записано в виде равенства. В общем случае задачи линейного программирования могут содержать ограничения, как в виде неравенств разных знаков, так и в виде равенств.

При решении задач современными стандартными программными средствами в Excel или с помощью других специализированных пакетов выполнять процедуры приведения моделей к некоторому стандартному виду, как правило, не требуется.

26