7. МОДЕЛИ И ЗАДАЧИ ТРАНСПОРТНОГО ТИПА

7.1. Транспортные задачи

Модели оптимального формирования плана перевозок применяют там, где требуется определить количества однородного груза, который необходимо доставить от нескольких поставщиков к различным потребителям. Доставку необходимо организовать так, чтобы совокупные транспортные издержки были минимальными.

Для построения модели необходима следующая информация

•n – число поставщиков;

•m – число потребителей;

•ai – запасы продукта (груза), имеющиеся у каждого i-го поставщи-

ка (i=1,2, … n);

• b j – потребности каждого j-го потребителя (j=1,2…m) в продукте

(грузе);

• cij – затраты на транспортировку единицы груза от i-го поставщика

к j-му потребителю;

В качестве управляемых переменных (переменных решения) xij

выбирают объемы груза, доставляемого от i-го поставщика к j-му потребителю.

В зависимости от того, соблюдается условие баланса (равенства) запасов и заявок или нет, транспортные задачи классифицируют следующим образом.

•Задачи, в которых выполняется условие баланса (предложение равно спросу)

называют замкнутыми, закрытыми или сбалансированными.

то такие задачи называют задачами с дефицитом. Их можно привести к стандартной сбалансированной задаче (7.1) введением до-

полнительного фиктивного поставщика (склада) с запасом, рав-

ным дефициту и нулевыми стоимостями перевозок.

107

то такие задачи называют задачами с избытком. Они приводятся к стандартной сбалансированной задаче введением фиктивного потребителя с заявкой, равной излишку и нулевыми стоимостями перевозок.

7.2. Замкнутая транспортная задача линейного программирования

На складах №1, №2, №3 имеются запасы продукции в количествах 90, 400 и 110 тонн соответственно. Продукцию необходимо доставить к потребителям П1, П2, П3, заявки которых составляют 140, 300 и 160 тонн. Склады и потребители расположены в различных районах города, поэтому расстояния между каждой парой из них различно. Соответственно транспортные расходы по перевозке товара с i-го склада к j-му потребителю также различны. Стоимость доставки единицы товара (одной тонны) от каждого склада к каждому потребителю в условных денежных единицах (у.д.е.) известна и представлена в табл. 7.1.

Таблица 7.1.

Требуется составить план перевозок – определить количество груза xij , которое должно быть вывезено из каждого i-го склада и доставле-

но к каждому j-му потребителю. При этом, с одной стороны, должна быть обеспечена доставка грузов всем потребителям в соответствии с их заявками, а с другой стороны, весь товар должен быть полностью вывезен со складов. План перевозок должен быть таким, чтобы совокупная стоимость транспортных издержек была минимальной.

Решение

Для формализации задачи (записи в математической форме) введем следующие обозначения.

108

y cij – удельная стоимость перевозки 1 тонны груза от склада № i к

потребителю Пj

yxij – количество груза (тонн), которое будет вывезено со склада

№i и доставлено к потребителю Пj. Тогда план перевозок можно представить в виде матрицы (таблицы) вида

yЗапасы товара на складах обозначим через ai , а потребности (заявки) потребителей через b j, тогда

С учетом введенных обозначений задача нахождения оптимального плана перевозок формулируется следующим образом. Требуется минимизировать суммарные транспортные затраты на перевозку грузов

Z=c11 x11 +c12 x12 +c13 x13 +c21 x21 +c22 x22 +c23 x23 +

+c31 x31 +c32 x32 +c33 x33

или

При этом на переменные наложены ограничения, обусловленные необходимостью вывоза всех запасов товара со складов

109

Кроме того, заявки всех потребителей должны быть удовлетворены

Очевидно также, что искомые переменные (объемы перевозимого

Таким образом, получена задача линейного программирования – необходимо минимизировать целевую функцию (7.4) при условии, что на переменные наложены ограничения (7.5) - (7.7).

Отличие подобных задач, называемых транспортными, от стандартных задач линейного программирования заключается в том, что

все ограничения заданы в виде равенств, все коэффициенты при неиз-

вестных в уравнениях системы ограничений равны 1, число искомых переменных велико и всегда превышает число уравнений в системе ограничений. Так, в данной задаче число искомых переменных равно 9 при числе ограничительных уравнений, равном 6. Последнее обстоятельство обуславливает наличие среди плана перевозок части нулевых решений (часть из xij всегда будет равна нулю).

Для решения транспортных задач используют как стандартные методы линейного программирования (симплекс метод), так и специальные вычислительные алгоритмы – [1, 4, 5, 10]. Последние более эффективны с вычислительной точки зрения, однако область их применения ограничена только моделями типа (7.4) – (7.7) при соблюдении условия (7.1).

В данной задаче запасы всех складов в сумме оказались равными заявкам потребителей (спрос равен предложению)

90+400+110 = 140+300+160 = 600.

Следовательно, это замкнутая (закрытая, сбалансированная) задача. Рассмотрим особенности ее решения в Excel (с помощью надстройки «Поиск решения»).

1.Исходную информацию сводят в единую таблицу (№ 1) и размещают на рабочем листе – рис. 7.1.

2.Ниже основной размещают аналогичную таблицу (№ 2), но с пустыми ячейками C12:E14, в которых будут вычисляться значения

xij .

110

3. Вычисление целевой функции проводят в два этапа. Вначале в ячейках H4:H6 с помощью стандартной функции СУММПРОИЗВ из категории Математические вычисляют сумму попарных произведений цены перевозки единицы груза cij от i-го склада на количество

груза xij , поставляемого j-му потребителю. Затем в ячейке H7 вычис-

ляют сумму этих промежуточных расходов (рис. 7.1.), т.е. значение целевой функции (7.4), которую необходимо минимизировать.

Рис. 7.1. Табличное представление задачи в Excel.

4. Для удобства записи ограничений в диалоговом окне «Поиска решения» исходные ограничения (7.5) - (7.7) записывают в несколько преобразованном виде, а именно

На рабочем листе Excel в ячейках H12:H14 записывают ограничения (7.5) на количество груза, вывозимого из каждого склада. В ячейках C17:E17 - ограничения (7.6) на количество груза, поставляемого каждому потребителю.

5.После вызова из пункта меню Сервис надстройки Поиск решения, в открывшееся диалоговое окно вводят необходимую информа-

цию (рис. 7.2.).

6.Результаты найденного оптимального плана перевозок получают в ячейках C12:E14, а соответствующие ему минимальные транспортные издержки в ячейке H7.

111

Рис. 7.2. Окно «Поиска решения».

Рис. 7.3. Найденное оптимальное решение.

112

7.3. Незамкнутая транспортная задача с избытком

Компания, занимающаяся добычей песка и доставкой его собственным транспортом к потребителям, разрабатывает 4 песчаных карьера. Недельная производительность карьеров 210, 170, 270 и 360 тонн. Песок направляется на три завода железо бетонных изделий (ЖБИ) . Недельные потребности заводов в песке составляют 300, 290 и 320 тонн. Транспортные затраты cij (в условных денежных единицах –

у.д.е.), связанные с доставкой 1 тонны песка от карьеров до заводов. известны и приведены в табл. 7.3.

Таблица 7.3.

Требуется:

1.составить такой план перевозок песка из карьеров на заводы, при котором совокупные транспортные издержки будут минимальны;

2.выяснить какое количество песка и на каких карьерах окажется невостребованным;

3.установить размер минимальных транспортных издержек.

Решение

Потребности заводов в песке (спрос) составляют 300+290+320=910 тонн, в то время как мощности карьеров позволяют добывать 210+170+270+360=1010 тонн. Предложение превышает спрос на 100 тонн. Следовательно, эта задача незамкнутая (п.7.1.).

Для приведения ее к стандартному виду (задаче замкнутого типа) введем дополнительно фиктивного потребителя, спрос которого будет равен 100 тоннам, а стоимости перевозок от карьеров до фиктивного потребителя примем равными нулю, так как реально никаких пе-

113

ревозок по этому маршруту выполняться не будет. В итоге получаем замкнутую задачу, эквивалентную исходной (табл.7.4.).

Таблица 7.4.

Обозначим через xij – количество песка (тонн), которое будет вы-

везено из карьера i (i= 1,2,3,4) и доставлено на завод j (j=1,2,3,4). Тогда искомый план перевозок, представленный в табл. 7.5, состоит из 16 управляемых переменных.

Таблица 7.5.

Совокупные транспортные издержки на перевозку составят

Z = 9 x11 +5 x12 +7 x13 +0 x14 +

114

Заметим, что введение фиктивного потребителя с нулевыми стоимостями перевозок никак не влияет на целевую функцию (7.8) в силу того, что коэффициенты при x14, x24, x34, x44 равны нулю.

Ограничения, вытекающие из необходимости удовлетворения потребностей заводов в песке

Ограничения, связанные с необходимостью полностью задейство-

В результате получена замкнутая транспортная задача линейного программирования – необходимо минимизировать целевую функцию (7.8) при условии, что на переменные наложены ограничения (7.9) – (7.11).

Решение задачи в Excel показано на рис. 7.4 – 7.6.

Рис. 7.4. Табличное представление задачи в Excel.

115