•из карьера № 4 70 тонн доставляется на завод ЖБИ № 1 и 290 тонн на завод ЖБИ № 2.

2.Невостребованными окажутся 60 тонн песка на карьере № 2 и 40 тонн песка на карьере № 3.

3.Минимальные совокупные транспортные издержки при оптимальном плане перевозок составят 5240 у.д.е.

7.4.Незамкнутая транспортная задача с дефицитом (оптимизация плана перевозок металлолома)

Компания, занимающаяся сбором и переработкой металлолома, имеет три промышленные площадки. Их мощности таковы, что они могут перерабатывать и поставлять металлургическим предприятиям соответственно 240, 40 и 110 тонн товарного металлолома в месяц. В настоящее время у компании имеются заявки на следующий месяц от четырех металлургических предприятий на поставку 90, 190, 40 и 130 тонн соответственно. Стоимость доставки 1 тонны металлолома (в у.д.е.) от промплощадок до металлургических заводов известна и приведены в табл. 7.6.

Таблица 7.6.

Требуется:

1)составить оптимальный план перевозок (доставки) металлолома потребителям, такой, при котором суммарная стоимость транспортных издержек будет минимальной;

2)выяснить какое количество металлолома, и на какой из заводов окажется недопоставленным при оптимальном плане перевозок;

3)установить размер минимальных транспортных издержек.

117

Решение

Так как суммарные мощности промплощадок (запасы) составляют 240+40+110=390 тонн, а потребности (заявки) предприятий – 90+190+40+130=450 тонн, то задача несбалансированна (незамкнутая задача с дефицитом). Потребности превышают запасы на 60 тонн. Для приведения задачи к замкнутой вводим фиктивного поставщика с «запасом» 60 тонн и нулевыми стоимостями перевозок. В итоге получаем замкнутую задачу, эквивалентную исходной задаче (табл. 7.7.).

Таблица 7.7.

Обозначим через xij количество груза (тонн), перевозимого от

i-ого поставщика к j-му потребителю. Тогда искомый план перевозок будет содержать 16 неизвестных (табл. 7.8.).

Таблица 7.8.

Подсчитаем совокупные транспортные издержки, необходимые для перевозки всего металлолома от поставщиков к потребителям

118

+0 x41 +0 x42 +0 x43 +0 x44.

Заметим, что введение фиктивного потребителя с нулевыми стоимостями перевозок никак не влияет на целевую функцию (7.12) в силу того, что коэффициенты при x41, x42, x43, x44 равны нулю.

Ограничения, вытекающие из необходимости удовлетворения спроса заводов в металлоломе

Ограничения, связанные с необходимостью полностью вывезти за-

В результате получена замкнутая транспортная задача линейного программирования – необходимо минимизировать целевую функцию (7.12) при условии, что на переменные наложены ограничения (7.13) – (7.15). Решение задачи в Excel показано на рис. 7.7 – 7.9.

Ответы

1.Оптимальный план перевозок представлен на рис. 7.9. Согласно плану

y промплощадка № 1 поставляет 90 тонн металлолома заводу № 2, 40 тонн заводу № 3 и 110 тонн заводу № 4,

y промплощадка № 2 поставляет 40 тонн металлолома заводу № 2, y промплощадка № 3 поставляет 90 тонн заводу № 1 и 20 тонн заводу

№ 4.

2.При оптимальном плане перевозок заводу № 2 будет недопоставлено 60 тонн металлолома.

119

3. Минимальная стоимость транспортных издержек при оптимальном плане перевозок составит 3120 у.д.е.

Рис. 7.7. Табличное представление задачи в Excel.

Рис. 7.8. Окно надстройки «Поиск решения».

120

Рис. 7.9. Найденный «Поиском решения» оптимальный план перевозок.

7.5. Задача о минимизации пробега автомобилей

Фирма, занимающаяся перевозкой грузов на собственных автомобилях КАМАЗ, обслуживает своих клиентов в центральных городах России. Клиенты могут заказать фирме доставку груза из любого населенного пункта в любой город. После доставки КАМАЗЫ ждут распоряжений диспетчера о выполнении следующей заявки в том городе, куда был доставлен груз.

В настоящий момент 4 порожних автомобиля ждут распоряжений диспетчера в Иваново, 3 автомобиля в Костроме, 6 машин в Орле и одна в Калуге. Одновременно диспетчеру поступили заявки на 5 автомобилей во Владимире, на 3 автомобиля в Санкт-Петербурге и на 6 автомобилей в Москве. Расстояния между городами известны и приведены в табл. 7.9.

Требуется.

1)составить такой план перегона порожних автомобилей из мест их расположения к клиентам, чтобы суммарный пробег всех автомобилей, а, следовательно, и издержки фирмы, были бы минимальными;

121

2)выяснить, как изменится оптимальный план, если стало известно, что в Калуге освободилась еще одна машина, а в Москве появился дополнительный заказчик.

Таблица 7.9.

Решение

Обозначим через xij количество машин, направляемых из i-го города к j-му клиенту. Тогда искомый план перевозок будет содержать

12неизвестных (табл. 7.10.).

Таблица 7.10.

Математически задача формулируется следующим образом. Необходимо сформировать такой план ( xij ), при котором целевая функция

Z - суммарный порожний пробег транспортных средств, будет минимальным.

Z =119 x11 +971 x12 +287 x13 +

+326 x41 +535 x42 +135 x43 .

122

Несмотря на то, что данная задача не рассматривает напрямую перевозку грузов, по структуре целевой функции и ограничений, а также способу формализации она относится к классической замкнутой транспортной задаче линейного программирования – необходимо минимизировать целевую функцию (7.16) при условии, что на переменные наложены ограничения (7.17) – (7.19).

Решение задачи в Excel приведено на рис. 7.10 – 7.12.

Рис. 7.10. Табличное представление задачи в Excel.

123

Ответы

1. Оптимальный план перегона автомобилей к заказчикам (рис. 7.12.), следующий:

•во Владимир направляются 4 машины из Иванова и одна из Костромы;

•в Санкт-Петербург – 2 машины из Орла и одна из Калуги;

•в Москву – 2 из Костромы и 4 машины из Орла.

При этом будет обеспечен наименьший суммарный пробег всех автомашин, который составит 5281 км.

2. Если дополнительно в Калуге освободится еще одна машина, а в Москве появится дополнительный заказчик, то оптимальный план, полученный в п.1, изменится (рис. 7.13.). В этом случае

•во Владимир направляются 4 машины из Иванова и одна из Костромы;

•в Санкт-Петербург – одна машина из Костромы и 2 из Калуги;

•в Москву – одна машина из Костромы и 6 машин из Орла. Наименьший суммарный пробег всех автомашин в этом случае уменьшится, несмотря на появление в плане дополнительной машины,

исоставит 5132 км.

Рис. 7.13. Оптимальный план при измененных условиях.

125