типа приведены в табл. 3.1. Там же указаны недельные запасы ресурсов, которыми располагает фабрика.

Требуется сформировать недельную производственную программу, при которой доход от реализации будет максимальным и в то же время реализацию этой производственной программы можно будет обеспечить имеющимися запасами ресурсов.

Таблица 3.1.

Решение

Обозначим через x1 недельный объем выпуска кроссовок, а через x 2 – недельный объем выпуска тапочек. Тогда (x1, x 2 ) – недельная

производственная программа.

При производственной программе (x1, x 2 ) недельный доход от

Для реализации производственной программы необходимо, чтобы затраченные на производство ресурсы не превысили имеющихся запасов. Поэтому выбор x1 и x 2 должен быть таким, чтобы не наруша-

лись ограничения

•по запасу кожи - 7x1 +2x 2 ≤ 700 ,

•по запасу ткани - 2x1 +4x2 ≤ 480 ,

•по запасу трудовых ресурсов - 2x1 +2x2 ≤ 300 .

Кроме того, переменные не могут быть отрицательными числами, т.е. x1 ≥ 0, x2 ≥ 0..

Таким образом, получаем классическую задачу линейного программирования – необходимо максимизировать целевую функцию (3.4) при условии, что переменные удовлетворяют системе ограничений

(3.5).

37

x1, x 2 ≥ 0.

Это задача с двумя переменными и для ее решения можно использовать графоаналитический метод.

Вначале найдем ОДР, все точки которой, удовлетворяют системе ограничений (3.5). Для этого в координатной плоскости строим гра-

ничные прямые «1», «2», «3» (рис 3.9. a, b, c)

1.7x1 +2x2 = 700 ,

2.2x1 +4x2 = 480,

3.2x1 +2x2 = 300 .

Рис. 3.9. Построение ОДР для системы ограничений (3.5).

Определяем путем подстановки те полуплоскости, которые удовлетворяют каждому из ограничений. Пересечение полуплоскостей зада-

38

называемый тривиальный случай, когда область допустимых решений состоит из единственной точки, которая и является формальным оптимумом.

В ряде задач система ограничений ЗЛП может содержать противоречивые условия. Тогда система неравенств не будет иметь общих решений (рис. 3.13.). Геометрически это означает, что области допустимых решений не существует. Очевидно, что говорить о решении задачи с несуществующей ОДР также не имеет смысла.

Решение задачи линейного программирования можно получить, только сопоставляя ОДР и поведение в ней целевой функции. В тех случаях, когда область допустимых решений – замкнутый много-

угольник, оптимальное решение как было установлено выше, всегда достигается не во внутренних точках ОДР, а в одной из точек, при-

надлежащей ее границе. При этом, в принципе, возможны два случая.

41

1.Оптимальное решение единственно и оно находится в одной из вершин многоугольника ограничений (рис. 3.14.).

2.В ряде задач может оказаться так, что линия уровня, соответствующая максимальному значению целевой функции в точности совпадает с одной из сторон многоугольника ограничений. В этом случае оптимальными решениями (максимизирующими Z) будут все точки, принадлежащие этой стороне. Пример такой задачи показан на рис. 3.15. Для реальных задач наличие таких альтернативных оптимумов крайне благоприятно, т.к.

3.5. Понятие о симплекс методе

Выявленные особенности справедливы и положены в основу вычислительных алгоритмов, предназначенных и для решения задач линейного программирования со многими переменными, которые не имеют такой ясной геометрической интерпретации.

В основу симплекс метода и его многочисленных модификаций, применяемых сегодня для решения большинства реальных задач со многими переменными, положены следующие принципы.

•Решение задачи ЛП, если оно существует, всегда находится на границе ОДР.

•Если оптимальное решение, максимизирующее (минимизирующее) целевую функцию, единственно, то оно всегда достигается в одной из вершин ОДР.

42

•Для того чтобы найти оптимальное решение, достаточно перебрать все вершины многогранника и выбрать ту, в которой целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение. Такие решения, находящиеся в вершинах многогранника, называют опорными решениями.

•Этап нахождения опорных решений – координат вершин ОДР, является составной частью любого алгоритма поиска оптимального решения.

•Алгоритм перебора опорных решений для поиска оптимума в симплекс методе организуется целенаправленно, так, чтобы при переходе от одной вершины к другой значение целевой функции неуклонно возрастало (убывало).

•Если на одном из этапов переход к соседним вершинам ОДР не приводит к росту (уменьшению) целевой функции, то поиск прекращается, а найденное опорное решение является оптимальным.

Вычислительные алгоритмы поиска оптимальных решений в задачах линейного программирования сегодня реализованы в качестве многочисленных программ для ЭВМ, в том числе и в виде специальной надстройки в MS Excel. Все они используют относительно простые, однако слишком громоздкие при «ручном» счете, итерационные процедуры. Вначале решаются системы линейных уравнений для нахождения опорных решений. Затем найденные опорные решения целенаправленно перебираются.

Вычисления проводятся следующим образом. Вначале программы «находят» некоторое исходное опорное решение и вычисляют для него значение целевой функции. Затем просматриваются соседние вершины и проверяется, улучшается значение целевой функции при переходе в одну из них или нет. Если улучшается, то новая вершина берется за основу и процедура повторяется. Поиск решения прекращается, если переход в соседние вершины не приводит к улучшению. В этом случае найденное решение является оптимальным, и улучшить его в «рамках» данной ОДР уже нельзя.

Автором (основоположником) симплекс метода принято считать Дж. Данцига, который разработал и впервые применил его в 1947 г. Однако первые результаты в этой области были получены академиком Л.В. Канторовичем почти на 10 лет ранее. В силу малой развитости теории линейного программирования в то время, Дж. Данциг, ничего не зная о работах Канторовича, разработал свой метод самостоятельно. Принципиальным отличием предложенного им подхода от неупо-

43

рядоченного перебора опорных решений явился алгоритм целенаправ-

ленного последовательного улучшения решений с учетом изменения целевой функции. Это позволило существенно сократить объемы вычислений при поиске оптимальных решений и сделало метод основным инструментом для решения большинства практических задач линейного программирования. Более подробно вычислительные итерационные процедуры, реализующими симплекс метод, освещены в ра-

ботах [5, 9, 10].

44