РАЗДЕЛ 4 Несинусоидальные токи, напряжения и переходные процессы

Схема работы с разделом 4

Модуль 4

Глоссарий

123

8.Несинусоидальные периодические ЭДС, напряжения и токи

влинейных электрических цепях

В теме 8 рассматриваются вопросы, входящие в четвертый раздел рабочей программы. Для изучения данной темы следует иcпользовать материал темы 8.

Эти вопросы также разобраны в [1], [2], [4].

Обратите особое внимание на ключевые моменты этой темы, которыми являются:

разложение несинусоидальной периодической функции в ряд Фурье;

действующие значения несинусоидальных периодических токов и напряжений;

мощность в цепи при несинусоидальных токе и напряжении;расчет линейных цепей с несинусоидальными ЭДС.

8.1. Общие положения

Несинусоидальными периодическими токами и напряжениями называются токи и напряжения, изменяющиеся во времени по несинусоидальному периодическому закону. Они могут возникать в следующих случаях:

1.Источник ЭДС (тока) вырабатывает несинусоидальную ЭДС (ток),

авсе элементы цепи линейны.

2.Источник ЭДС (тока) вырабатывает синусоидальную ЭДС (ток), а один или несколько элементов цепи не линейны.

3.Источник ЭДС (тока) вырабатывает постоянную или синусоидальную ЭДС (ток), а параметры одного или нескольких элементов цепи изменяются периодически во времени.

Расчет таких цепей можно свести к уже хорошо знакомым нам методам

расчета цепей с постоянными и синусоидальными ЭДС. Для этого надо разложить несинусоидальную кривую на постоянную и гармонические составляющие.

124

8.2.Разложение несинусоидальной периодической функции

вряд Фурье

Вэтой теме мы рассмотрим методы расчета линейных цепей, в которых действует несинусоидальные периодические ЭДС, напряжения и токи.

Несинусоидальные периодические ЭДС, напряжения и токи можно представить в виде ряда Фурье, который в общем виде содержит постоянную составляющую, основную или первую гармонику, имеющую период, равный периоду самой функции, и высшие гармоники, частота которых в целое число раз больше частоты первой гармоники

u(t) U0 U1m sin( t 1) U2m sin(2 t 2 ) ... Ukm sin( t k ) ..., (8.1)

где U0 – постоянная составляющая, равная среднему значению несинусоидального напряжения за период, U1sin( t+ 1) – основная или первая гармоника. Она имеет тот же период T = 2 / , что и данное несинусоидальное напряжение. Все остальные гармоники, имеющие частоту, не равную частоте , называются высшими гармониками. Номер гармоники означает, во сколько раз угловая частота больше основной частоты . Следует отметить, что число гармоник стремится к бесконечности, а амплитуды по мере увеличения номера гармоники уменьшаются и стремятся к нулю Umin 0. Поэтому обычно можно ограничиться некоторым конечным числом ряда.

Ряд Фурье (8.1) можно записать и в виде суммы синусного и косинусного рядов:

Коэффициенты ряда (8.2) могут быть определены с помощью известных из высшей математики формул.

Если несинусоидальная периодическая функция обладает тем или иным видом симметрии, то при ее разложении в ряд Фурье отсутствуют некоторые составляющие ряда.

125

8.3.Действующие значения несинусоидальных периодических токов

инапряжений

Известно, что действующим значением тока или напряжения называется среднеквадратичное значение их за период, т.е.

i I0 i1 i2 ... I0 Im1 sin( t i1) Im2 sin(2 t i2 ) ... (8.4)

Тогда при подстановке (8.4) в (8.3) получаем (вывод можно посмотреть в рекомендованной литературе [1],[2])

аналогично для напряжения

Пример 8.1. Мгновенное значение несинусоидального тока представлено в виде ряда

8.4. Мощность в цепи при несинусоидальных токе и напряжении

Пусть на входе цепи имеется несинусоидальные напряжение и ток

126

Из (8.9) получаем формулу для расчета активной мощности при несинусоидальных токе и напряжении

Р U 0 I 0 U 1 I1 cos 1 U 2 I 2 cos 2 ... P0 P1 P2 ... . (8.10)

Активная мощность при несинусоидальном режиме согласно (8.10) равна сумме постоянной мощности и активных мощностей всех гармоник.

Полной мощностью называется произведение действующих значений несинусоидальных напряжения и тока

Для периодических несинусоидальных процессов вводят понятие о коэффициенте мощности , определяя его из соотношения

По аналогии с синусоидальным током вводят понятие о реактивной мощности Q, которая определяется как сумма реактивных мощностей отдельных гармоник:

Пример 8.2. Известны несинусоидальные ток i и напряжение u на входе цепи:

i 18 2 sin( t 20 ) 12 2 sin(3 t 13 ) 4 2 sin(5 t 17 ),

u 10 20 2 sin( t 35 ) 14 2 sin(3 t 63 ) 8 2 sin(5 t 37 ).

Требуется определить: активную, реактивную, полную мощности и коэффициент мощности.

Решение. Действующие значения тока и напряжения равны:

127