3.10. Цепь с последовательным соединением R, L, C

Известно приложенное к цепи синусоидальное напряжение u=Umsin( t+ u) и параметры R, L, C цепи (рис. 3.8,а). Требуется определить ток цепи i , т. е. его амплитуду Im и начальную фазу i.

В цепи с последовательным соединением R, L, C ток во всех ее элементах одинаков, а напряжения на элементах различные. В такой цепи действует 2-й закон Кирхгофа, который в векторной форме записи в соответствии с формулой

Рис. 3.8

Решим поставленную задачу с помощью векторной диаграммы. Она показана на рис. 3.8,б для случая, когда UL UC. Диаграмму начинаем строить с вектора тока I, откладывая его на плоскости чертежа вертикально вверх (выбор произвольный).

В соответствии с табл. 3.1 вектор UR совпадает с вектором I по фазе, вектор UL опережает вектор I по фазе на 90 , а вектор UC отстает от вектораI по фазе на 90 .

Применяя правило многоугольника для сложения векторов и откладывая векторы UR , UL и UC друг за другом, находим вектор U приложенного к цепи напряжения. Полученный результат показывает, что действующие значения напряжений этой цепи (длины векторов) соотносятся между собой как стороны прямоугольного треугольника. Этот треугольник напряжений показан на рис. 3.8,в. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, находим

U U R2 (U L UC )2 U R2 U X2 ,

64

где UX = (UL – UC). Учитывая (табл. 3.1), что UR = IR, UL = IXL и UC = IXC, получаем

U I R2 (X L X C )2 I R2 X 2 , или U I z . (3.19)

Эта формула является законом Ома для цепи синусоидального тока с последовательным соединением активного и реактивных сопротивлений. Здесь

z R2 (X L X C )2 R2 X 2 (3.20)

полное сопротивление данной цепи.

Из формулы (3.20) следует, что активное R, реактивное X и полное z сопротивления рассматриваемой цепи также соотносятся между собой как стороны прямоугольного треугольника. Этот треугольник сопротивлений показан на рис. 3.8,г.

Заметим, что треугольник сопротивлений подобен треугольнику напряжений: поделив все стороны треугольника напряжений на величину действующего значения тока I цепи, получаем треугольник сопротивлений.

Из векторной диаграммы видно, что ток и напряжение цепи не совпадают по фазе. Угол сдвига фаз определяется из треугольника напряжений или треугольника сопротивлений:

Этот угол по абсолютному значению меньше 90 . В нашем примере UL UC , угол 0 и цепь имеет индуктивный характер. Если UL UC , то 0 и цепь имеет емкостной характер. Если же UL = UC, то = 0 и цепь ведет себя как чисто активная.

3.11. Цепь с параллельным соединением R, L и C

Известно приложенное к цепи (рис. 3.9,а) синусоидальное напряжение u = Um sin( t+ u) и ее параметры R,L,C. Требуется определить ток

цепи i (Im и i).

В цепи с параллельным соединением R, L, C напряжение на всех ее элементах одинаково, а токи разные. Здесь действует 1-й закон Кирхгофа в векторной форме I = IR + IL + IC . Для решения задачи построим векторную диаграмму цепи. Она показана на рис. 3.9,б при условии, что IL IC . Диаграмму начинаем строить с общего для всей цепи вектора напряжения U, откладывая его на плоскости вертикально вверх (произвольный выбор).

65

Затем строим векторы IR IL и IC . Вектор IR откладываем по одной линии (параллельно) с вектором U, так как ток и напряжение в активном сопротивлении R совпадают по фазе. Вектор IL откладываем под углом 90 по часовой стрелке к вектору U, так как в индуктивности ток отстает от напряжения на 90 . Наконец, вектор IC откладываем под углом 90 против часовой стрелки к вектору U, поскольку в цепи с емкостью ток опережает напряжение по фазе на 90 .

I R

Рис. 3.9

Складывая эти векторы по правилу многоугольника (предварительно выстроив их друг за другом), находим результирующий вектор I . Из полученной диаграммы следует, что действующие значения токов ветвей (длины векторов) соотносятся между собой, как стороны прямоугольного треугольника (рис. 3.9,в). Применяя теорему Пифагора, получаем

Эта формула является законом Ома для цепи с параллельным соединением активных и реактивных сопротивлений. Здесь

полная проводимость исследуемой цепи.

Из формулы (3.24) следует, что активная G, реактивная b и полная y проводимости цепи соотносятся между собой, как стороны прямоугольного треугольника (рис. 3.9,г), подобного треугольнику тока: его можно получить, если все стороны треугольника тока поделить на действующее значение напряжения

66

цепи U. Сравнивая между собой формулы (3.24) и (3.19), замечаем, что полная проводимость y и полное сопротивление z цепи являются взаимообратными величинами: y IU ; z U I . Отсюда

Из векторной диаграммы на рис. 3.9,б, следует, что ток и напряжение цепи не совпадают по фазе. Угол сдвига фаз определяется либо из треугольника напряжений, либо из треугольника токов:

лен и цепь имеет индуктивный характер. При IL IC (bL bC) угол сдвига фаз отрицателен и цепь имеет емкостной характер. Если IL = IC (bL = bC), то = 0 и цепь ведет себя как чисто активная.

На этом поставленная в условии задача нахождения тока цепи решена. Результаты, полученные при рассмотрении данной задачи, позволяют рассчитывать цепи, содержащие параллельно соединенные элементы в любой комбинации.

3.12. Мощность цепи синусоидального тока.

Электрическая мощность в цепи синусоидального тока определяет количество электроэнергии, поступающее в нагрузку в единицу времени. Она равна произведению действующего значения напряжения U на действующее значение тока I. Ее физическая размерность – вольт-ампер (ВА). Различают три вида мощности: активную (P), реактивную (Q) и полную (S).

Мощность в активных сопротивлениях цепи называется активной (Р). Она характеризует скорость преобразования электромагнитной энергии в тепловую энергию и механическую работу и измеряется в ваттах (Вт).

Мощность в реактивных сопротивлениях цепи называется реактивной (Q) и измеряется (для ее отличия от активной мощности) в вольт-амперах реактивных (вар). Она характеризует скорость изменения запаса энергии в электрическом и магнитном полях цепи и не связана с преобразованием энергии электромагнитного поля в тепловую энергию.

67

Мощность на зажимах всей цепи, состоящей из различных комбинаций соединений R, L и C, называется полной мощностью (S) и измеряется в вольтамперах (ВА). Она характеризует скорость поступления электрической энергии в данную цепь.

Заметим, что активная Р, реактивная Q и полная S мощности соотносятся между собой как стороны прямоугольного треугольника. Для цепи с последовательным соединением R, L, C его легко получить, если все стороны треугольника напряжений умножить на действующее значение тока I цепи. Для цепи с параллельным соединением R,L,C треугольник мощностей получается, если все стороны треугольника токов умножить на действующее значение U приложен-

3.13. Понятие о коэффициенте мощности и коэффициенте полезного действия

В энергетике широко распространено понятие о коэффициенте мощности цепи, под которым понимают отношение ее активной мощности Р к полной S:

ется в тепло и другие виды энергии. Энергетики стремятся эту долю свести к единице, т.е. иметь P = S или cos = 1, при котором угол сдвига фаз между напряжением и током цепи равен нулю. Иначе говоря, наиболее эффективным режимом работы цепи является резонанс токов. С этой целью на зажимы заводских и районных подстанций подключают батареи конденсаторов, подбирая их емкость так, чтобы в цепи имел место резонанс. Энергетики называют такие действия компенсацией реактивной мощности.

Не следует путать коэффициент мощности (cos ) и коэффициент полезного действия ( ) электроустановок. Коэффициент мощности показывает, какая доля полной мощности S источника преобразуется в активную мощность, а коэффициент полезного действия показывает, насколько эта активная мощность эффективно используется в конкретных электрических установках, например в электродвигателях.

68