2.5. Лабораторная работа №5. Определение параметров модели структуры потоков

Общие сведения

Методика определения параметров моделей по экспериментальным кривым отклика, хотя и является общепринятой, имеет некоторые принципиальные недостатки:

1. Связь моментов кривой распределения с производными от передаточной функции получена в предположении, что входной возмущающий сигнал подается в форме единичного импульса или -функции. На практике такой входной сигнал реализовать невозможно, и, следовательно, необходимо производить дифференцирование передаточной функции с учетом реального входного сигнала. Это приводит к большим математическим трудностям.

2. Выходная функция C_э(t) должна измеряться и интегрироваться при t: только при этом условии выполняется предел производной передаточной функции р0 и имеют место полученные уравнения связи между моментами кривой распределения и параметрами гидродинамических моделей. Это условие трудно реализовать и экспериментально, поскольку эксперимент всегда проходит за конечное время, а малые количества трассера трудно регистрировать экспериментально.

Поэтому в последнее время получил распространение иной метод определения параметров моделей структуры потоков по экспериментальным данным, основанный на общем подходе к задаче идентификации математических моделей на основе методов нелинейного программирования.

Цель: Определение параметров гидродинамических моделей по экспериментальным данным путем решения обратной задачи методами нелинейного программирования.

1. Постановка задачи

Чтобы решить задачу определения параметров модели по экспериментальным данным, применяют метод поиска минимального рассогласования между результатами моделирования поведения объекта при нанесении на его вход выбранного входного сигнала и заданными значениями параметров состояния модели. Функцию рассогласования представляют в виде суммы квадратов отклонений. Решению поставленной задачи будет состоять в нахождении минимума суммы квадратов отклонений по искомым параметрам модели.

Математическая формулировка поставленной задачи имеет следующий вид:

где: NEXP - число экспериментов

NT^k - число точек по времени для k-го эксперимента

- вектор параметров модели М_р ={P;P_i [P_i^н,P_i^в]};

P^н - вектор нижних ограничений переменных;

Р^в - вектор верхних ограничений переменных;

y^k(t_i) - экспериментальный выходной сигнал для k-го эксперимента в i-й точке.

Функция рассогласования при каждом значении вектора параметров модели формируется путем численного решения уравнений модели для получения набора расчетных значений у^k(t_ik) в каждой i-й точке измерения k-го эксперимента. После формирования функции рассогласования, соответствующей заданному вектору параметров модели , производится поиск параметров модели, минимизирующих функцию рассогласования. Для поиска минимума функции рассогласования используются различные методы нелинейного программирования, например, градиентный метод, алгоритм которого приведен ниже:

где: p_j – j-й компонент вектора параметров модели;

i– номер шага поиска.

Для ускорения процесса поиска экстремума функции рассогласования применяют различные методы, ускоряющие процедуру поиска минимума. Например, используют метод наискорейшего спуска. При использовании этого метода продолжают движение в направлении вычисленного градиента до тех пор, пока это движение является успешным. Для этого после каждого шага проверяется, успешным ли был этот шаг:

Если шаг был успешным, следующий шаг делается в этом же направлении. Если же шаг оказывается неудачным (вышеуказанное условие не выполняется), производится возврат в предыдущую точку, вычисляется новое значение градиента функции рассогласования и производится движение в направлении нового градиента. Иногда для сокращения числа шагов в направлении градиента и ускорения достижения минимума в этом направлении применяют методы однопараметрической оптимизации, например метод «золотого сечения» или метод чисел Фибоначчи. В этом случае производится поиск оптимального значения коэффициента пропорциональности М, позволяющего быстрее локализовать минимум на выбранном направлении градиента.

Таким образом можно находить параметры сложных моделей потоков, в том числе и комбинированных, при использовании входных возмущающих сигналов произвольной формы и при проведении измерений в конечное время.

В порядке реализации изложенного подхода в Российском научном центре «Прикладная химия» была создана автоматизированная программная система RTD (Residence Time Distribution) для синтеза сложных моделей структуры потоков из элементарных блоков и решения обратной задачи нахождения параметров моделей по экспериментальным данным.

Программный комплекс RTD состоит из нескольких подпрограмм, выполняющих различные функции. Перечень этих подпрограмм открывается в главном меню RTD при входе в систему. Таких подпрограмм пять. На рис.1 показано главное меню системы с пятью подпрограммами и окном, в котором при выборе подпрограммы появляется схема результата работы подпрограммы.

Рис.1. Главное меню системы

Рассмотрим назначение и работу с некоторыми подпрограммами комплекса RTD.

1.«Эксперимент» (Experiment). Эта подпрограмма предназначена для формирования и ввода массива экспериментальных данных в виде значений входной и выходной концентрации в данные моменты времени. Для входа в эту подпрограмму необходимо отметить мышкой окошко около названия программы и нажать кнопку ОК. Появляется окошко с выбором способа работы New или Open (рис.2). При первом входе в систему программирования следует создать файл экспериментальных данных, для чего выбрать способ New и нажать кнопку Next. Отроется окно для ввода экспериментальных данных в форме таблицы «время – концентрация»

Рис.2. Создание новой модели

После ввода экспериментальных данных и построения графика (с помощью соответствующей кнопки), результаты следует сохранить под выбранным именем и перейти к построению модели структуры потока.

2. «Моделирование» (Model). После выбора подпрограммыModelв открывшемся окне предлагается выбор режима работы: NewилиOpen- либо построить новую, либо открыть одну из уже созданных моделей, - соответственно. При первом обращении к подпрограмме моделирования следует выбрать режимNewи нажать кнопкуNext. Появится окно работы с моделями (рис.3). Здесь следует выбрать закладку окнаDesign(спроектировать) редактора моделей. На экране появляется окно редактора, разделенное на два подокна. Левое подокно редактора содержит мнемонические изображения (иконки, символы) типовых моделей. Иконки моделей и другие блоки следует выделять мышью и перетаскивать в правое рабочее подокно редактора, соединяя их с входомInи выходомOut. Созданную модель следует сохранить под выбранным именем.

Рис.3. Конфигурирование модели

3. «Оценка» (Estimation) – подпрограмма для определения параметров созданной модели.

Для запуска подпрограммы оценки параметров модели следует в главном меню комплекса RTD выбрать строку Estimation и нажать кнопку ОК. Откроется окно (рис.4) выбора режима работы: создание новой оценки параметров модели New или пересмотр ранее выполненной оценки Open.

Рис.4. Создание новой задачи оценки в подпрограмме Estimation

Нажатие закладки Experimental Data откроет список экспериментов, в котором можно выбрать ранее созданный массив экспериментальных данных и ввести его. При необходимости, данные можно откорректировать, убрав некоторые точки, сделав фильтрацию, или коррекцию базовой линии, если экспериментальные данные содержат излишний шум.

Нажатие закладки Model откроет папку, содержащую ранее созданные модели, где можно выбрать требуемую модель. Нажатие закладки Parameters откроет окно, содержащее перечень параметров выбранной модели, их начальное приближение, минимальное и максимальное допустимые значения, а также предложения по возможности изменять параметры в процессе поиска.

Рис.5. Задание параметров выбранной модели в подпрограмме Estimation

После задания начальных приближений и ограничений, нажатие кнопки Next откроет в следующее меню (рис.6), предлагающее тип запуска: с текущим наблюдением за результатами поиска (закладка Estimation), или автоматический поиск без вывода промежуточных результатов (кнопка Run).

Рис.6. Меню выбора типа запуска и запуск задачи оценки

Нажатие кнопки Run включает подбор (поиск) параметров модели. При выполнении условия окончания поиска по заданной остаточной точности описания, поиск прекращается, и отображаются результаты подбора параметров модели и сопоставление результатов модели с фактическими данными.

Рис.7. Результаты мат.моделирования и сопоставление с экспериментом

После окончания поиска можно выбрать закладку Statistics и посмотреть результаты статистического анализа и оценку адекватности модели (рис.8):

Рис.8. Результаты статистического анализа и оценка адекватности