Физический смысл спектральной плотности

В формулу

подставим выражение

,

получим

Перепишем выражение:

Так как - четная, а- нечетная функция, то выражение

будет равно нулю. Поэтому в результате останется:

где - четная функция. Это значит, что данную функцию можно переписать в два интеграла:

Таким образом, физический смысл спектральной плотности состоит в том, что сигнал s(t) представлен в виде суммы бесконечно большого числа гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитудами:

так как дифференциал – это обозначение бесконечно малой величины.

Бесконечно большое число гармонических составляющих непрерывно заполняют интервал частот от нуля до бесконечности.

Начальные фазы этих составляющих: .

Поэтому

например, .

Спектральная плотность описывает распределения бесконечно малых амплитуд по частоте.

- распределение начальных фаз гармонических составляющих сигнала по частоте.

Условие существования преобразования Фурье

В математике доказано, что преобразование Фурье существует, если функция s(t) удовлетворяет условию Дирихле и условию абсолютной интегрируемости:

Энергия сигнала:

,

т. е. энергия должна быть ограничена. В реальности все сигналы ограничены, т. е. имеют конечную энергию.

Энергетический спектр непериодического сигнала

Энергия сигнала определяется выражением

Если вместо s(t) подставить интеграл

,

получим

Это выражение может быть переписано в два интеграла:

Это равенство называют равенством Парсеваля,

где

- энергетический спектр.

График энергетического спектра у прямоугольного импульса будет такой:

График энергетического спектра у экспоненциального импульса будет такой:

Реально физическими частотами являются только положительные частоты. Отрицательные частоты – это чисто математическое понятие (математический прием), которое используется для того, чтобы выразить действительную функцию времени в комплексном виде. Например:

Поэтому при изображении спектров можно выбирать только положительные частоты.

Ширина спектра непериодического сигнала

Теоретически спектр S(ω) определен на всей оси частот, т. е.

_.

Практически спектр S(ω) определен на положительной оси частот:

_.

Поэтому вводят понятие практической ширины спектра. Есть несколько критериев для определения практической ширины спектра.

Практическая ширина спектра определяется как интервал частот, в котором значения амплитуды превышают некоторый заданный уровень. Например:

ω_гр – это верхняя частота, при которой модуль амплитуды спектра уменьшается в 10 раз по сравнению с максимальной:

Практическая ширина спектра определяется как интервал частот, в пределах которого сосредоточена большая (например, 90 %) часть энергии.

Для прямоугольного импульса, как показывают расчеты, 90 % энергии сосредоточено в первом лепестке.

Поэтому

.

Произведение ширины спектра и длительности импульса в данном случае равно единице.