9.3. Параметрический резонанс

Существуют явления, при которых так же, как и при действии гармонического сигнала на колебательный контур, результат внешнего воздействия называется зависимым от частоты этого воздействия. Эти явления объединяют понятием резонанс в более широком смысле, и применительно к колебательным цепям, содержащим параметрический конденсатор, говорят о параметрическом резонансе.

Рассмотрим в качестве примера явления, происходящие в колебательном контуре с параметрическим конденсатором при воздействии на конденсатор напряжения накачки в виде прямоугольных импульсов с частотой следования, равной удвоенной частоте собственных колебаний контура.

Допустим, что между частотой собственных колебаний и изменением емкости С существует жесткая синхронизация: в моменты времени, когда напряжение на конденсаторе достигает экстремума, емкость скачком уменьшается; в моменты времени, когда напряжение становится равным нулю, емкость скачком увеличивается на ту же величину.

Энергия, запасенная конденсатором, равна . При малом приращении емкости ΔС<<C₀ приращение энергии

(линейно зависит от приращения емкости).

Максимальная энергия, запасенная параметрическим конденсатором, равна

.

Из графиков и формулы следует, что за период собственных колебаний контур дважды получает дополнительную энергию от источника накачки в моменты экстремальных значений напряжения на конденсаторе. Обозначим эту дополнительную энергию накачки Е_НК и в соответствии с формулой запишем:

.

Как известно, эквивалентное сопротивление контура при резонансе активно и для параллельного контура равно R_ЭКВ=ρQ, где Q - добротность, а - характеристическое сопротивление контура. Энергия, рассеиваемая в контуре за период собственных колебаний, равна

.

Сравнивая рассеиваемую энергию с накачиваемой в контур, можно заключить, что в контуре колебания либо не возникают, либо они нарастают неограниченно. Первое происходит, если Е_РАСС>E_НК; второе - если Е_РАСС<E_НК. Другими словами, колебания нарастают, если коэффициент модуляции емкости больше некоторого критического значения. Из последних выражений также следует, что для возникновения параметрического резонанса необходимо, чтобы выполнялось условие

Подставив сюда , получим

Оно и определяет критическое значение ΔС.

Поясним полученный результат. Каждый раз, когда емкость уменьшается, конденсатор заряжен и энергия источника накачки затрачивается на увеличение электрической энергии контура. Каждый раз, когда емкость увеличивается, конденсатор разряжен и изменение емкости происходит без затрат полезной энергии.

Таким образом, в цепях с реактивными параметрическими элементами энергия накачки может преобразовываться в энергию сигнала.

Баланс мощностей в параметрических цепях

Рассматриваемая модель параметрической цепи реально представляет собой нелинейную цепь. А в цепи, содержащей нелинейный конденсатор, под воздействием напряжения генератора накачки и напряжения генератора сигнала возникают колебания комбинационных частот:

Чтобы представить себе, как перераспределяются энергии информационного сигнала и сигнала накачки между комбинационным колебанием, рассмотрим следующую цепь.

Пусть параллельно нелинейному конденсатору включены три цепи - цепь накачки, цепь сигнала и колебательный контур. Последний называют холостым контуром. Контур настроен на одну из комбинационных частот ω_к, и поэтому можно принять, что других комбинационных колебаний не существует. Сумма средних мощностей колебаний сигнала P_C, накачки P_НК и комбинационной частоты P_К должна быть равна нулю (закон сохранения энергии):

.

Переходя от средних мощностей к энергиям, получим

Подставляя сюда находим, что

.

Последнее равенство при произвольных ивыполняется, если каждое слагаемое равно нулю (поскольку они не связаны общей частотой):

Переходя от энергии к средним мощностям, получаем

.

Уравнения выражают закон сохранения энергии в параметрических цепях. Их называют уравнениями Мэнли-Роу. И они являются частным случаем общей теоремы Мэнли-Роу о балансе мощностей в спектре колебания параметрической цепи, содержащей реактивную нелинейность (емкость или индуктивность). Теорема записывается в виде

Они определяют законы распределения энергии сигнала и накачки между гармониками выходного сигнала

Здесь P_mn - средняя мощность колебания на комбинационной частоте .

Запишем уравнения Мэнли-Роу для частного вида цепи, в которой существуют колебания только на четырех частотах:

.

Для этого необходимо задать две пары значений - m и n: m=1, n=1 и m=-1, n=1.

Тогда

.

Эти формулы и устанавливают количественные соотношения (баланс) между мощностями колебаний различных частот.