8.2. Самовозбуждение lc - автогенератора гармонических колебаний

Рассмотрим схему, в которой при определенных условиях могут возникать и существовать автоколебания.

Это схема, содержащая полевой транзистор, колебательный контур и индуктивную цепь обратной связи. Будем считать, что ток стока транзистора связан с напряжением затвор-исток нелинейной зависимостью i₀=I(U_ЗИ).

В колебательном контуре уравнения, связывающие ток емкости i_С c током индуктивности i_L, записываются в виде системы

или как одно уравнение

Для цепи обратной связи имеем

Следовательно, полную систему уравнений цепи можно записать таким образом:

или в развернутом виде

После включения источников постоянного напряжения в цепи начинаются заряд емкости и протекание тока в индуктивности, причем начальные значения i_L(t) и U_C(t) весьма малы. Напряжение U(t) при этом также будет незначительно отличаться от Е_СМ, и зависимость I(U) может быть существенно упрощена.

Пусть I(U)=a₀+a₁U+a₂U²+... Так как

то

Если принять, что

то можно линеаризовать зависимость i₀(t)-I(E_CM)=a₁ΔU=S₀ΔU, где S₀ - начальная крутизна, равная тангенсу угла наклона касательной к графику I(U) в точке U=E_СМ.

Дифференциальное уравнение для тока будет таким:

или

Обозначим

Тогда последнее уравнение можно записать в виде

Это линеаризованное уравнение колебательного процесса в автогенераторе на стадии возникновения и нарастания колебаний. Его решение определяет закон суммирования амплитуды колебаний:

и их частоту

Начальные значения амплитуды и фазы колебаний можно найти из начальных условий. Но в рассматриваемом случае исходными следует считать случайные флуктуации токов и напряжений, поэтому особого значения определения их величин не имеют.

Более важным является другое. Если a_Э>0, то какой бы ни была начальная флуктуация тока, процесс в цепи будет затухать. Если же a_Э<0, то сколь угодно малая начальная флуктуация тока будет нарастать с течением времени.

В первом случае цепь является устойчивой. Корни характеристического уравнения

имеют отрицательную действительную часть.

Во втором случае цепь неустойчива. Неустойчивость может привести к автоколебаниям в цепи. Условием возникновения автоколебаний является положительность действительной части корней характеристического уравнения цепи.

Рассмотрим физический смысл условия неустойчивости. Согласно приведенным выше рассуждениям для возникновения автоколебаний необходимо иметь a_Э<0, т. е.

Сопротивление потерь в цепи, т. е. превращение энергии колебаний в теплоту, должно быть меньше некоторого значения, обусловленного крутизной характеристики активного элемента и коэффициентом обратной связи. Очевидно, что это условие эквивалентно условию баланса амплитуд. Фазовое условие существования автоколебаний в данном анализе трансформировалось в выражение для частоты колебаний.

Полученное уравнение справедливо только для малых приращений Δi_L(t). Поэтому решение в виде растущей экспоненты справедливо для цепи только на начальном этапе развития процесса автоколебаний. Амплитуда этих колебаний будет возрастать не бесконечно, а достигнет некоторого стационарного значения. Для расчета стационарной амплитуды и частоты колебаний в установившемся режиме используют другой метод, называемый гармонической линеаризацией.