Спектр дискретного сигнала

Определим дискретный сигнал x_д(t) через совокупность отсчетов непрерывной функции x(t):

x(k)=x(t=kΔ). (11.1)

Тогда сам дискретный сигнал можно записать в виде модели:

x_д(t)=x(t)f_n(t), (11.2)

где - безразмерная периодическая (с периодом Δ) решетчатая функция.

Покажем, что дискретный сигнал (11.1) имеет спектр по Фурье вида

где Ś_x(f) - спектр исходного непрерывного сигнала x(t). Из (11.3) следует, что спектр дискретного сигнала повторяется с периодом частоты дискретизации Fд.

Из математики известно (задача Парсеваля), что спектр Фурье от произведения двух функций определяется сверткой спектров сомножителей, где Ś_fn(f) - спектр по Фурье периодической функции f_n(t) c периодом Δ, которая представима комплексным рядом Фурье:

(при интегрировании учтено фильтрующее свойство δ-функции).

Спектральная плотность периодической функции

определяется суммой δ-функций:

С учетом (11.5) интегрирование (11.4) дает результат (11.3). Из спектра (11.3) можно без искажений восстановить спектр Ś_x(f), следовательно, и сам непрерывный сигнал x(t), только при условии, если отдельные копии спектра Ś_x(f-kF_д) взаимно не пересекаются. Это возможно, если F_д>2F_в или Δ<1/2F_в. Восстановление осуществляют фильтром нижних частот, АЧХ которого показана на предыдущем рисунке пунктирной линией. Реализация такого фильтра тем проще, чем сильнее выполняется неравенство F_д>2F_в.

Спектр дискретного сигнала можно определить не только по формуле (11.3), но и путем непосредственного применения прямого преобразования Фурье к функции (11.1). Это дает следующий результат:

Определим теперь спектр Фурье дискретного финитного (непериодического) сигнала, определенного на интервале (0;Т). Такой финитный сигнал можно записать в виде

Спектр сигнала (11.6) можно найти, если его периодически продолжить направо и налево с периодом Т. Тогда получаем периодический сигнал Х_{д пер}(t), совпадающий с Х_дф(t) на интервале (0;Т), для которого комплексные амплитуды Ćn можно получить из (11.7) при ω=2πn/T суммированием от k=0 до k=N-1 и с учетом сомножителя 1/Т:

Формула (11.8) определяет коэффициенты дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Из нее следует, что при заданных N отсчетах x(k) существует N коэффициентов ДПФ (n=0,1,2,3,…,N-1). Коэффициент

определяет постоянную составляющую. При четном N из (11.8) следует для вещественных x(k):

т. е. коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно N/2, образуют комплексно-сопряженные пары. Можно считать, что коэффициенты ĆN/2, ĆN/2+2,…CN-1 соответствуют отрицательным частотам. Число же амплитуд, образующих спектр ДПФ, равно N/2. Это следует из теоремы отсчетов Котельникова при Δ=1/2F_в. При таком условии спектр x_дпер(t) содержит F_в/(1/Т)=Т/(2Δ)=N/2 амплитуд.

При заданных Ćn (n=0,1,2,3,…N-1) функцию x(k) можно определить с помощью обратного преобразования Фурье (ОДПФ), представляя периодическую функцию x_пер(t) c периодом Т рядом Фурье:

Положив в (11.10) t=kΔ, получаем ОДПФ:

Как прямое, так и обратное преобразования Фурье линейны.