7.3. Мгновенный центр скоростей.

Теорема: Если тело совершает плоское движение, то всегда имеется такая точка, жестко связанная с телом, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Такая точка называется мгновенным центром скоростей (МЦС).

МЦС лежит на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей двух каких-нибудь точек тела (рис. 2.26).

Докажем, что скорость точки Р(МЦС). Предположим, что. Тогда по теореме о проекциях скоростей точек на прямую их соединяющую вектордолжен быть перпендикуляренAP, так как. С другой стороныдолжен быть перпендикуляренBP, так как. Получаем противоречие: вектордолжен быть одновременно перпендикулярен непараллельным отрезкамAPиBP, что невозможно. Следовательно, что и требовалось доказать.

Свойства МЦС.

Запишем уравнения для определения скоростей точек А и В, приняв МЦС за полюс:

,

(2.31)

Очевидно ,, откуда

(2.32)

Из (2.31) и (2.32) вытекают следующие свойства МЦС:

1. Скорости точек тела при плоском движении прямопропорциональны их расстояниям до МЦС.

2. Скорости точек перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с МЦС.

Частные случаи определения МЦС.

1. Скорости точек AиBтела составляют одинаковый угол с прямойAB(рис. 2.27). Очевидно при этом,, то есть в этом случае тело совершает мгновенно поступательные движения.

2. Скорости точекAиBтела перпендикулярны отрезкуABи не равны. На основе (2.32) МЦС находится так, как показано на рис. 2.28.

3. Скорости точек А и В перпендикулярны отрезку ABи направлены в противоположные стороны. МЦС определяется так, как показано на рис. 2.29.

4. Колесо катится без скольжения прямолинейно. В данном случае МЦС находится в точке касания А (рис. 2.30).

7.4. Определение ускорений точек тела

Запишем основное уравнение для определения скорости точки:

.

Для определения ускорения точки М вычислим векторную производную от уравнения (2.30) при этом примем во внимание, что вектор изменяет только свою величину:

(2.33)

Уравнение (2.33) выражает следующую теорему.

Ускорение любой точки М при плоском движении тела равно геометрической сумме ускорений полюса от поступательного движения тела и ускорения данной точки от вращения тела вокруг полюса.

Так как определяет ускорение точки М от вращения тела вокруг полюса А, то его можно представить в виде:

(2.34)

Касательное и нормальноеускорения точки М от вращения тела вокруг полюса определяются на основе (2.26), (2.27):

, при этом ,.

Полное ускорение находится из уравнения.

Пример 2.11.Определить ускорение точки В тела, совершающего плоское движение, если известны ускорение полюса, угловая скорость, угловое ускорениеи расстояниеAB(рис. 2.31).

Всоответствии с изложенным выше находим:

Результат представлен на рис. 2.31.

С учетом (2.34) уравнение (2.33) целесообразно записать в виде

(2.35)

В общем случае движение полюса может быть криволинейным и тогда полное ускорение произвольной точки М определяется уравнением

(2.36)

7.5 Мгновенный центр ускорений

При плоском движении тела всегда имеется точка, жестко связанная с телом, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Такая точка называется мгновенным центром ускорений (МЦУ).

Пусть тело совершает плоское движение, при этом известны ускорение произвольной точки A, а также угловая скоростьи угловое ускорение(рис. 2.32).

Для нахождения МЦУ необходимо:

1. Найти угол из выражения;

2. Отложить от вектора полупрямуюABпод угломв сторону направления углового ускорения;

3. Отложить на полупрямой ABотрезок

.

(2.37)

Найденная точка Qи будет МЦУ.

Свойства МЦУ:1) ускорения всех точек тела составляют один и тот же уголс отрезками, соединяющими их с МЦУ; 2) модули ускорений всех точек тела пропорциональны их расстоянию до МЦУ.

Пример 2.12.Определить величину и направление ускорения точкиCшатунаABкривошипно-ползунного механизма, если кривошип 0Aвращается с постоянной угловой скоростью;;(рис. 2.33).

Для решения задачи найдем МЦУ шатуна AB. Так как, то угловая скорость шатунаABдля указанного положения. Тогдаи.

При ускорение точкиAнаправлено к центру вращения кривошипа 0A. Следовательно МЦУ для шатунаABнаходится на линии. С другой стороны, ускорение ползунаBнаправлено по линии 0B, поэтому отрезокBD, соединяющий точкуBс МЦУ должен быть перпендикулярен 0B. Пересечение линийAEиBDопределяет положение точкиQ– МЦУ для шатунаAB. По свойству МЦУ вектор точки ускорения точкиC, а его модуль найдется из пропорции

.