Глава 7. Плоское движение твердого тела

7.1. Уравнения плоского движения

Плоским называют такое движение твердого тела, при котором все его точки описывают плоские траектории, параллельные базовой плоскости.

Уравнения плоского движения можно получить следующим образом. Пусть тело совершает плоское движение по отношению к базовой плоскости (Б.П.) (рис 2.19). Очевидно, все точки, лежащие на перпендикуляре АВ к базовой плоскости, движутся одинаково.

Следовательно, для задания плоского движения твердого тела необходимо и достаточно задать движение какого-нибудь сечения плоскости.

Как известно, положение плоской фигуры (S) можно задать посредством координат произвольной точкиA(полюса) и угла поворотафигуры относительно полюса (рис. 2.20):

(2.29)

Вкачестве полюса можно принять любую точку тела, движение которой известно. Тогда для задания плоского движения тела должны быть заданы три уравнения движения (2.29).

При этом первые два уравнения (2.29) описывают поступательную составляющую плоского движения, а третье – вращательную составляющую.

Таким образом, плоское движение сечения (S) (а значит и всего тела) можно рассматривать как состоящее из поступательного вместе с полюсом и вращательного относительно полюса.

Из рассмотрения рисунка 2.21 следует, что при изменении полюса первые два уравнения изменяются, в то время как уравнение для угла поворота не меняется.

Пример 2.9.Определить уравнение плоского движения колеса, которое катится без скольжения прямолинейно (рис. 2.22).

Будем предполагать, что скорость центра колесапостоянна, а оси координат в начальном момент времени указаны на чертеже.

Так как скорость точки Cизвестна, то выберем ее в качестве полюса. В этом случае. Для определенияпримем во внимание, что. Тогдаили.

Для нахождения функции учтем, что колесо катится без скольжения, следовательноОкончательно уравнения плоского движения колеса в форме (2.29) имеет следующий вид:

7.2. Определение скоростей точек тела

Воспользуемся векторным способом задания движения для нахождения скорости произвольной точкиM. Из (рис. 2.23) имеем

.

Для определения скорости точки Mвычислим векторную производную от вектора:

Очевидно , аопределяет скорость точкиMот вращения сечения (S) вокруг полюса. Тогда

(2.30)

Уравнение (2.30) выражает следующую теорему: скорость любой точки тела при плоском его движении равна геометрической сумме скорости полюса от поступательного движения тела и скорости точки от вращения тела вокруг полюса.

Скорость, а ее модуль.

Пример 2.10.Определить скорость точкиBтела, совершающего плоское движение, если известны скорость полюса, угловая скоростьи расстояниеAB.

В соответствии с(2.30) имеем ; вычисливи принимая во внимание, чтопостроением параллелограмма находим(рис. 2.24).

Теорема: Если тело совершает плоское движение, то проекции скоростей двух любых точек тела на прямую их соединяющую, равны по величине и имеют одинаковое направление.

Найдем скорость точки Bпо известным данным,,AB(рис. 2.25):

.

Спроектируем данное равенство на прямую AB:

или , что и требовалось доказать.