2.Длина дуги кривой.

Вычисление длины дуги кривой в декартовых координатах.Введем понятие длины дуги. Пусть на плоскости введена кривая, являющаяся графиком непрерывной функциина отрезке. Разобьем отрезокточками наnчастей. Из каждой точкивосстановим перпендикуляр к осиOx; тогда дугаABразобьется наnчастей точками(рис.4). Заменим каждый участок дугиучастком прямой.

Определение.Длиной дуги называется пределL, к которому стремится длина ломаной, вписанной в дугуAB, при стремлении к нулю наибольшей из ее сторон, а значит, и при, т.е.

(8)

Рис. 4 Рис.5

Пусть функция и ее производнаянепрерывны на отрезке. Согласно теореме Пифагора имеем. Обозначим. Так каки, то на основании теоремы Лагранжа получим

.

Тогда . В следствие непрерывности производнойсуществует предел (8) интегральной суммы. Таким образом,

(9)

По определению предел (9) равен определенному интегралу от функции на отрезке:

. (10)

Это и есть формула для вычисления длины дуги.

Пример 4. Найти длину дуги кривой , отсеченной прямой(рис.5).

Решение. Найдем производную функции y=f(x), заданной неявно соотношением; имеем, откудаВ силу симметрии достаточно вычислить длину половины кривой. По формуле (10) получим

, при.

Вычисление дуги плоской кривой, заданной в параметрической форме. Рассмотрим параметрически заданную кривуюгде- непрерывные и имеющие непрерывные производные функции, причем. Пусть. В интеграле (10) произведем подстановку; так как, то получим

. (11)

Пример 5. Найти длину окружности радиуса R.

Решение. Уравнения окружности в параметрической форме имеют вид Найдем четвертую часть длины окружности. По формуле (11) имеем

Что согласуется с общеизвестным результатом.

Вычисление длины дуги плоской кривой в полярных координатах.Воспользуемся формулами перехода от полярных координат к декартовым:(учли, что радиусrесть функция полярного угла). Эти уравнения можно рассматривать, как параметрические уравнения кривой при изменении параметрав пределах. Тогда по формуле (11) находим

. (12)

3. Вычисление объемов и площадей поверхностей вращения.

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной функции y=f(x), осьюOxи прямымиx=a,x=b, вращается вокруг осиOx.

(рис.6)

Найдем объем Vполученного тела вращения. Ясно, что произвольное поперечное сечение этого тела представляет собой круг. Площадь круга, образованного при сечении тела вращения плоскостьюx=x, есть. Тогда используя формулу, получим

(13)

Если криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной функцией , осьюOyи прямымиy=aиy=b, вращается вокруг осиOy, то объем полученного тела вычисляется по формуле

(14)

Пример 6. Найти объем конуса с радиусом основания Rи высотойh.

Решение. Конус можно считать телом, полученным вращением прямоугольного треугольника с катетами hиRотносительно осиOx. Найдем уравнение гипотенузы этого треугольника. Имеемy=kx, где. По формуле (13) получим

Вычисление площади поверхности тела вращения.

Определение.Площадью поверхности тела, полученного при вращении дугиABвокруг осиOxназывается предел, к которому стремится площадь поверхности, образованной вращением вокруг осиOxломаной, вписанной в дугуAB, при стремлении к нулю наибольшей из ее сторон, а значит, и при, т.е..

Формула для вычисления площади поверхности вращения вокруг оси Ox

(15)

Если кривая вращается вокруг оси Oy, то формула имеет вид

(16)