2. Входной интервал → а1:а500.

3. Метод выборки → Случайный → Число выборок – 70.

4. Выходной интервал → Е1.

5. ОК.

Аналогичные операции проделать для столбцов В и С. Данные поместить в столбцы F и G.

Определение характеристик выборки

Для определения числовых характеристик выборки можно воспользоваться статистическими функциями, однако большинство характеристик можно получить проще, используя инструмент Описательная статистика того же пакета анализа.

Алгоритм действий:

1. Анализ данных → Описательная статистика→ ОК.

2. Входной интервал → Е1:70.

3. Группирование по столбцам.

4. Отметить флажками Итоговая статистика, Уровень надежности, К – й наибольший, К – й наименьший

5. Выходной интервал → I1.

5. ОК.

Аналогично - для столбцов F и G.

При необходимости расчета других числовых характеристик используйте кнопку Вставка функций. Например, для расчета среднего геометрического значения по первой выборке введите =СРГЕОМ(А1:А70) (Вставка функций / Категория — статистические / Функция: СРГЕОМ / ОК / Число1: F1:F70 — протаскиванием мышью / ОК). В дальнейшем мы воспользуемся и другими статистическими функциями.

По данным выборки Е1 построить контрольный листок.

Гистограмма.

Наиболее простой способ построения гистограммы частот в Excel — использование инструмента Гистограмма. Постройте гистограмму частот и график выборочной функции распределения (в терминологии Excel - интегральный процент: значения накопленных относительных частот вычисляются в процентах) для первой выборки.

Для определения числа карманов необходимо воспользоваться вышеописанной методикой. В нашем случае число карманов равно 7. Границы карманов определяются по алгоритму:

1. Описательная статистика.

2. Наибольший – Наименьший = 14,69 – 7,27 = 7,42. Получившееся число разделить на 7. 7,42/7 = 1,06.

3. Интервалы карманов получать последовательным суммированием с числом 1,06:

7,27 + 1.06 = 8,33

8,33 + 1,06 = 9,39

9,39 + 1,06 = 10,45

10,45 +1,06 = 11,51

11,51 + 1,06 = 12,57

12,57 + 1,06 = 13, 63

13,63 + 1,06 = 14,69

Получившиеся значения карманов ввести в столбец, например, J21:J27.

4. Анализ данных → Гистограмма.

5. Входной интервал – Е1:Е70.

6. Интервал карманов – J21:J27. Если поле Интервал карманов (границы интервалов) не заполнять, границы будут определены автоматически.

7. Выходной интервал – любая пустая ячейка, например, I30.

8. Флажки – Интегральный процент, Вывод графика.

9. ОК.

Результат представлен на рис. 7 (таблица частот и график). Данные разбиты на 7 интервалов.

Карман	Частота	Интегральный %
8,33	4	5,71%
9,39	16	28,57%
10,45	22	60,00%
11,51	9	72,86%
12,57	10	87,14%
13,63	6	95,71%
14,69	3	100,00%
Еще	0	100,00%

Рис. 7. Таблица частот и гистограмма

Применим инструмент Гистограмма для анализа какого – либо параметра изделия, например, диаметра вала при расточке токарем Ивановым, имеющим 5 – й разряд и работающем на станке №3. Станку 10 лет, а заготовки получаются из соседнего кузнечно – прессового цеха.

Сравнивая номинальное значение параметра, равного 10 ± 0,8 см., получаем, что при производстве партии из 500 валов среднее выборочное значение получилось равным 10, 45 см., что, в общем – то, находится в пределах допуска. Величина поля допуска составляет 1,6 см., т.е поле допуска лежит в пределах от 9,2 до 10,8 см. Если считать, что в пределах кармана параметр распределен равномерно, то в карман 8,33…9,39 попадает 16 валов., то в поле допуска снизу попадает только 18% валов, т.е. примерно 3.Аналогично обстоит с верхней границей. Простое суммирование дает число бездефектных валов 28 (22 + 6). Остальные валы (472) уходят в брак, а выход годной продукции составляет 5,6%. Очевидно, что процент брака (94,4%) явно недопустим и необходимо принимать срочные меры либо по замене токаря, или по ремонту станка либо ужесточать входной контроль при приеме заготовок.

Диаграмма Парето.

Диаграмма Парето строится в режиме гистограмма с установкой флажка в поле Парето (отсортированная диаграмма).

Однако более интересным является многократный метод использования диаграммы Парето.

Обратимся к рис. 1, на котором представлена таблица контрольного листка в виде

Наименование порока	Номер партии П - 253	Общее количество пороков на погонный метр
	Результат контроля (Количество пороков на метр погонный)
Концевые	////////////////////	20
Складки	///////////////	15
Засечки	////////	8
Вмятины	///	3
Грязь	//	2
Прочие дефекты	//	2
Итого		50

Модернизируем эту таблицу, убрав второй столбец и добавив столбцы Времени простоя объекта при ликвидации порока, стоимости потерь при простое и стоимости потерь по данному виду порока. Получим следующую таблицу

Наименование порока	Общее количество пороков на погонный метр	Время простоя объекта при ликвидации порока, час	Стоимость потерь при часовом простое , тыс. руб.	Стоимость потерь по данному виду порока, тыс. руб.
Концевые	20	3	6	10
Складки	15	2	5	12
Засечки	8	5	7	11
Вмятины	3	7	10	17
Грязь	2	1	2	6
Прочие дефекты	2	4	4	7
Итого	50	22	34	63

Рис. 8. Обобщенная таблица для исследования методом построения диаграммы Парето.

Задание. Построить различные диаграммы Парето и определить максимальные потери при различных пороках с целью первоочередной ликвидации наиболее значимых пороков.

Причинно – следственная диаграмма (диаграмма Исикавы).

Диаграмму Исикавы можно рисовать в средах Word, Excel, Visio и других, однако в любом случае необходимо, чтобы сумма весовых коэффициентов по всем видам причин снижения качества равнялась единице. Если одна из причин рассматривается отдельно, то и в этом сумма весов равняется единице. Причины и веса причин определяются, как правило, одним из экспертных методов.

Задание. Изобразить ПСД для анализа снижения количества продаж в торговом предприятии «Ассоль», занимающемся продажей различных видов косметических товаров. Причины определяются по правил 5Р – персонал, процедуры, покупатели, обеспечение, окружающая среда.

Диаграмма разброса.

В примере для построения гистограммы говорится о том, что на качество расточки валов влияют обученность токаря, техническое состояние станка и качество поступающих извне заготовок.

Предположим, что на качество расточки валов влияет обученность токаря. Для проверки справедливости этой гипотезы сформировать две 50 – членных выборки из генеральной совокупности в 500 членов и вычислить коэффициент корреляции.

17. Практическое занятие. Контрольные карты.

Контрольная карта по своей сути представляет графическое отображение состояния процесса, его уровня и изменчивости. Контрольные карты строят в произвольном масштабе на листе бумаги или экране монитора. По оси абсцисс откладываются моменты взятия выборок или их текущие номера, а по оси ординат – реализация выборочной характеристики.

По типу используемых выборочных данных контрольные карты делятся на два класса:

- контрольные карты для количественных данных (признаков);

- контрольные карты для альтернативных (качественных) данных признаков).

Выбор контрольных карт – это неминуемая процедура, с которой сталкиваются на шаге оценки результатов работы процесса. Для лучшего представления результатов, важно выбрать именно тот набор контрольных карт, который наиболее соответствует собранным данным о процессе. Использование тех или иных контрольных карт зависит от того, в каком количестве и какой структуры данными мы располагаем.

Основные применения контрольных карт:

- уменьшение отклонений процесса;

- контроль результатов процесса.

- установление общего языка для обсуждения показателей процесса.

При выборе контрольных карт можно выделить три основных шага:

1. Определение типа данных (количественные, качественные).

2. Определение вида распределения данных (только для качественных данных).

3. Определение количества и структуры данных.

Шаг 1: Определение типа данных (количественные, качественные).

Выбор контрольных карт начинается с определения того, какими данными мы располагаем. На данном этапе мы различаем два типа данных – количественные и качественные.

Если данные могут быть нанесены на непрерывную шкалу, например температура, время, дистанция, вес, то они называются количественными данными.

Если данные представляют собой дискретные события, например количество дефектов на сотню, процент дефектов, ошибки при отгрузке, процент отходов, то они называются качественными данными.

Нам важно различать эти два типа, так как использование тех или иных контрольных карт напрямую зависит от того, каким типом данных мы располагаем.

Шаг 2: Определение вида распределения данных (только для качественных данных).

Если данные качественные, нам нужно определить какому распределению они подчиняются.

Наибольший интерес для практических вопросов управления качеством представляют гипергеометрическое, биномиальное и распределение Пуассона.

Гипергеометрическое распределение типично для случая, когда генеральной совокупностью является контролируемая партия продукции объемом N, в которой М единиц продукции несоответствующие. Если из этой партии продукции берется безвозвратная выборка объемом п, то количество несоответствующих изделий в выборке является дискретной случайной величиной, подчиняющейся гипергеометрическому закону распределения. Таким образом, вероятность того, что в выборке объемом п будет обнаружено ровно m несоответствующих изделий, определяется соотношением:

,

где - число сочетаний изM по m.

Случайная величина X, которая представляет собой число наступлений определенного события в результате n испытаний, имеет биномиальное распределение если:

- вероятность наступления события одна и та же для всех испытаний;

- испытания независимы между собой.

Например, количество имеющих дефекты изделий среди 100 единиц выпущенной продукции имеет биномиальное распределение.

Применительно к выборочному контролю качества продукции по альтернативному признаку биномиальному распределению подчиняется количество несоответствующих единиц продукции (m) в повторных выборках объемом п, взятых из контролируемой партии продукции с уровнем несоответствия, равным q.

Для биномиального распределения математическое ожидание равно nq, а дисперсия - nq(l-q).

Биномиальное распределение при n → ∞ стремится к нормальному распределению с математическим ожиданием nq и дисперсией nq(1 - q

Если некоторое событие происходит случайно и независимо в каждом из испытаний, и среднее число его наступлений не изменяется, то количество наступлений этого события будет подчиняться распределению Пуассона.

Например, количество заказов которые фирма получит завтра имеет распределению Пуассона.

Распределению Пуассона подчиняется количество случайных событий, которые появляются в фиксированные промежутки времени или в фиксированной области пространства, например, количество несоответствий в выборке или количество несоответствий, приходящихся на единицу продукции.

Особенностью распределения Пуассона является равенство дисперсии математическому ожиданию.

Эта особенность распределения Пуассона позволяет на практике утверждать, что экспериментально полученное распределение случайной величины подчинено распределению Пуассона, если выборочные значения математического ожидания и дисперсии примерно равны.

Шаг 3: Определение количества и структуры данных.

Шаг 3 – это последний этап, который непосредственно приводит к выбору нужных контрольных карт. К данному этапу выбора контрольных карт, мы могли придти по 4-м ветвям:

- количественные данные;

- качественные данные – биномиальное распределение;

- качественные данные – распределение Пуассона;

- качественные данные –гипергеометрическое распределение.

Рассмотрим эти 4 случая:

Случай 1 – Количественные данные.

Выбор карты:

• Если информация представлена как индивидуальное наблюдение, например количество продаж за день или количество километров уложенного асфальта за неделю, то выбираем X_ср – R - карту (X_ср – среднее значение, R - размах).

• Если объем выборок больше 1, но не более 10, то используем M – R - карту (M - медиана). Например, выборка из 5 измерений количества кофе наливаемого автоматом.

• Если объем выборок больше 10, то будет используем X_ср – s - карту (s (σ)– стандартное отклонение).

Случай 2 – Качественные данные - биномиальное распределение.

Выбор карты:

• Если информация представлена как доля брака в выборках постоянного или переменного размера (обычно больше 50), то используем p - карту.

Если информация представлена как количество дефектных единиц в выборках постоянного размера (обычно больше 50), то используем np - карту

Случай 3 – Качественные данные - распределение Пуассона.

Выбор карты:

Если информация представлена как количество дефектов на одну единицу продукта в выборках постоянного или переменного размера, то используем u- карту.

Если информация представлена как количество дефектов в выборках постоянного размера (обычно больше 50), то используем c - карту.

Случай 4 – неизвестное распределение.

Для других распределений или если распределение неизвестно используется X_ср - R - карта. Кроме того, X_ср - R - карта может использоваться и для вышеупомянутых распределений - биномиальное распределение, распределение Пуассона.

Пример выбора контрольных карт.

Рассмотрим компанию по производству авторучек. В течение месяца каждый день производилась выборка, состоящая из 100 ручек. Продукция каждой выборки тщательно тестировалась и определялось число неисправных ручек (данные представлены в таблице).

Дни	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
К=во дефкт единиц	2	7	5	1	4	3	2	6	8	4	2	5	7	4	3	1	9	3	4	5

Директор компании хочет знать, не случилось ли так, что количество выпускаемой дефектной продукции увеличилось в связи с износом оборудования или кокой-то другой причины. Хороший способ ответить на этот вопрос – это построение Контрольных Карт.

Шаг 1. Определение типа данных.

На этом шаге, наша цель определить тип данных (количественные, качественные). В нашем случае, данные – это дискретные события, например в первый день 2 ручки в выборке неисправны. Таким образом мы располагаем качественными данными.

Шаг 2. Определение вида распределения данных (только для качественных данных).

В случае качественных данных, следует определить какому распределению подчиняются данные. Количество неисправных ручек – это случайная величина в результате 100 испытаний и она имеет биномиальное распределение т. к.

1. Вероятность того, что мы получим неисправную ручку одна и та же для всех испытаний.

2. Испытания независимы между собой.

Шаг 3. Качественные данные – биномиальное распределение.

Если данные имеют биномиальное распределение, то выбор карты сводится к выбору между np и p картой. Так как информация представлена как количество дефектных единиц в выборках постоянного размера, то используем np-карту.

Итог: Для представления результатов процесса выбрали np карту.

Контрольная карта средних арифметических технологического процесса.

Для построения контрольной карты необходимо, чтобы значения X_ср и s были известны. Их оценки получают по результатам расчетов среднего значения и стандартного отклонения соответствующих параметров технологического процесса на протяжении длительного промежутка времени.

95%-ные границы распределения называются верхней и нижней предупреждающими границами. 98%-ные границы распределения называются верхней и нижней границами регулирования.

Построение контрольной карты состоит в нанесении на график выборочных средних в соответствии с номером выборки (рис. 1).

Рис. 1. Контрольная карта Шухарта выборочного среднего.

ВГР и НГР определяются как X_ср ± , а ВПГ и НПГ –X_ср ± , гдеn – объём выборки.

Стандартная процедура использования этих контрольных карт состоит из следующих шагов:

1. Через равные промежутки времени проводится выборка объемом n и рассчитывается выборочное среднее.

2. Полученное значение выборочного среднего наносится на контрольную карту в соответствии с номером выборки.

3. Если выборочное среднее лежит за пределами границы регулирования, производится остановка технологического процесса в целях выявления неслучайных причин вариации.

4. Если два последовательно полученных значения выборочных средних находятся в промежутке между предупреждающей границей и границей регулирования, предпринимаются немедленные действия по остановке процесса производства и выявлению неисправностей. Если некоторое среднее значение лежит за пределами предупреждающих границ, следующая выборка производится сразу же, до момента проведения очередной выборки.

5. Если точки на графике образуют явный возрастающий или убывающий тренд, предпринимаются определенные меры даже в случаях, когда эти точки находятся в пределах предупреждающих границ. Этот тренд может оказаться индикатором наличия неслучайных причин, например, снижения параметров наладки станка.

Применение этой процедуры иногда приводит и к необоснованным остановкам технологического процесса, однако это случается крайне редко. Любые издержки, связанные с остановками процесса производства, будут больше, чем та экономия, которая может быть получена вследствие улучшения качества продукции.

Данная процедура в сущности представляет собой не что иное, как проверку статистических гипотез. Нулевая гипотеза заключается в том, что технологический процесс находится под контролем, причем все технологические параметры соответствуют установленным производственным возможностям. Альтернативная гипотеза утверждает, что процесс не является контролируемым. Каждый раз, когда мы проводим выборку, осуществляется процедура проверки гипотез. Если выборочное среднее лежит за предупреждающими границами, H₀ отклоняется при 5%-ном уровне значимости. Если оно находится за пределами границ регулирования, мы отклоняем Н₀ при 2%-ном уровне значимости. С помощью контрольных карт можно без труда показать результаты периодически повторяющейся проверки гипотез.

Задание.

Производится расфасовка чая в упаковки объемом по 125 г. Известно, что фасовочный станок работает со стандартным отклонением в 0,15 г. Для обеспечения необходимого веса достаточно наладить станок на среднее значение в 125 г. Через каждые полчаса производится случайная выборка объемом в 5 упаковок. Каждую упаковку взвешивают. Ниже приведены результаты шести последовательных выборок.

Построить по этим данным контрольную карту арифметического среднего и описать функционирование процесса расфасовки

Номер выборки	1	2	3	4	5	6
Вес упаковки, г	125,1 125,3 125,1 124,8 125,1	124,9 125,0 125,1 124,9 124,7	125,2 125,1 125,3 125,0 125,1	125,0 125,0 124,7 125,2 125,1	124,8 124,8 125,2 125,1 124,9	124,9 125,1 125,0 124,9 125,2

Контрольные карты изменчивости технологического процесса.

Результатом процесса производства может быть выпуск изделий, параметры которых в среднем удовлетворительны, однако возрастание значений относительно средней должно являться причиной для беспокойства. Производственные возможности станка изменяются, и его работа становится неконтролируемой. Размеры значительной доли изделий могут оказаться слишком большими или слишком маленькими даже в случае, когда среднее значение является допустимым. Показатель размаха значений каждой выборки может использоваться при построении контрольной карты размаха, характеризующей изменения стандартного отклонения. Эту карту строят строго с учетом данных контрольной картой среднего, а затем обе карты используются одновременно.

Размах = Максимальное значение - Минимальное значение.

В основу контрольной карты размаха положено достаточно сложное распределение, поэтому при определении положения линии центра предупреждающих границ и границ регулирования, используются специальные таблицы. Как правило, определяют только верхнюю предупреждающую границу и границу регулирования, поскольку в основном только большой размах приводит к осложнениям в технологическом процессе. Однако иногда для выявления чрезвычайно низких размахов, которые могут означать либо улучшение процесса производства, либо наличие измерительной ошибки, используются и нижние границы контрольной карты.

Положение каждой из прямых определяется следующим образом:

Центральная линия dn σ,	Где n — объем выборки, σ — стандартное отклонение технологического процесса;
Верхняя предупреждающая граница rw σ	отсекает 2,5% значений в верхней части распределения, т.е. при условии нормального протекания процесса размах выборки превысит данное значение в одном случае из 40;
Верхняя граница регулирования rА σ	отсекает 0,1% значений в верхней части распределения, т.е. при условии нормального протекания процесса размах выборки превысит это значение в одном случае из 1000.

d_n , r_w , r_А — параметры распределения вероятностей размахов выборок, полученных из нормального распределения. Их значения зависят от объема выборки n и определяются по статистическим таблицам. Ниже приводится выдержка из соответствующей таблицы

Таблица 1

Параметры, используемые для построения контрольной карты размахов

п	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
dn rwrА	1,128 3,17 4,65	1,693 3,68 5,05	2,059 3,98 5,30	2,326 4,20 5,45	2,534 4,35 5,60	2,704 4,49 5,70	2,847 4,61 5,80	2,970 4,70 5,90	3,078 4,79 5,95	3,173 4,86 6,05

Задание. По данным с весом упаковок с чаем, построить контрольную карту размахов.

Решение.

Размер выборки равен 5, стандартное отклонение процесса составляет 0,15 г. Используя данные 1, находим:

d_n = 2,326 , r_w = 4,20 , r_А =5,45

Вычислить размах каждой выборки по данным предыдущего задания. Нанести полученные значения размахов на контрольную карту. В данном примере и контрольная карта средних значений, и контрольная карта размахов говорят о том, что технологический процесс находится под контролем.