ЛП_КомпГеом_1

М И Н И С Т Е Р С Т В О О Б Р А З О В А Н И Я И Н А У К И Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА И ЭКОНОМИКИ

КАФЕДРА «ПРИКЛАДНЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ»

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

ДЛЯ БАКАЛАВРИАТА ВСЕХ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ 010400.62

«Прикладная математика и информатика»

Санкт-Петербург

2013

1

Одобрен на заседании кафедры «Прикладные информационные технологии», протокол № %% от %%.%%.2013 г.

Компьютерная геометрия. Лабораторный практикум для бакалавриата всех форм обучения по направлению 010400.62 «Прикладная математика и информатика». – СПб.: Изд-во СПбГУСЭ, 2013.

Составители:

доц. кафедры «Прикладные информационные технологии», к.ф-м.н. А.В. Кондрашков

Рецензент: д.т.н., проф. М.О. Колбанев

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики

2013 г.

2

Содержание

3

Предисловие

Дисциплина «Компьютерная геометрия» рассматривает информационные технологии в геометрии (как части высшей математики) на основе тех или иных компьютерных программ. Настоящая версия дисциплины «Компьютерная геометрия» предназначена для бакалавриата всех форм обучения по направлению 010400.62 «Прикладная математика и информатика». Учебное пособие содержит достаточное количество заданий как для аудиторных занятий, так и для самостоятельной работы.

Тематика заданий раздела 1 охватывает ряд традиционных задач геометрии, допускающих решение аналитическими методами на основе математического анализа и линейной алгебры. Соответствующие алгоритмы поиска решения могут быть реализованы в любой системе (программе), допускающей программирование на языке высокого уровня. Для этого идеально подходят современные программные продукты (широко известные как системы компьютерной математики, или просто СКМ), реализующие компьютерные технологии в математике. Сюда относятся такие популярные системы, как MATLAB, Maple, Mathematica, MathCAD, и т.д. Для ознакомительных целей выбор конкретной СКМ не имеет принципиального значения, поскольку все эти системы предназначены для решения одних и тех же математических задач. Настоящий практикум ориентирован на применение СКМ Wolfram Mathematica. Лабораторные работы наглядно демонстрируют возможности системы Mathematica и способствуют освоению ее средств при решении типовых геометрических задач аналитическими методами. Многие задачи для вариантов заданий взяты из классических задачников по высшей математике для университетов и технических вузов.

4

Порядок выполнения и оформления лабораторных работ

1.Каждая лабораторная работа раздела 1 содержит от 5 заданий по различным разделам геометрии в составе высшей математики. Номера индивидуальных заданий назначает преподаватель.

2.Все задания по темам с №№ 1-11 выполняются в программе «Wolfram Mathematica 7». На ее рабочем листе *.nb формируется протокол выполнения каждой лабораторной работы.

3.В дальнейшем следует сохранить протокол, фиксируя фамилию студента

и номер лабораторной работы. (Пример сохранения протокола: zurupa_05.nb.)

4.На основании протокола составляется отчет о выполнении текущей лабораторной работы как раздел единого документа *.docx (рабочей тетради). Тема лабораторной работы выносится в заголовок раздела. По каждому заданию в отчет внедряются только следующие пункты: формулировка задания; итоговые результаты.

5.После добавления титульного листа следует сохранить рабочую тетрадь, фиксируя фамилию студента. (Пример сохранения рабочей тетради: цурюпа. docx.)

6.На защиту лабораторной работы доставляется папка (в электронной форме) с указанием фамилии студента и направления подготовки. Папка должна содержать протоколы и рабочую тетрадь. (Пример папки: цурюпа_2307.)

7.Лабораторные работы раздела 2 (по темам с №№ 12-17) связаны с геометрическим моделированием в системе 3D MAX. При выполнении этих работ следовать указаниям их заданий. Файлы с результатами работ сохранять в своей папке.

5

Раздел 1. Аналитические методы в геометрии и их реализация в системах компьютерной математики

Аналитические методы в геометрии состоят в систематическом применении координат и векторов. Обоснованием служит ряд широко известных фактов евклидовой геометрии.

В методе координат положение какой-либо точки в пространстве (или на плоскости) однозначно определяется тройкой (или парой) чисел, которые служат координатами точки относительно выбранной системы координат. Описание геометрических объектов может быть связано с использованием числовых функций, уравнений, неравенств. Многие геометрические задачи находят свое решение как традиционные задачи математического анализа.

На основе векторных представлений евклидова геометрия неразрывно связана с линейной алгеброй.

Алгоритмы поиска решения какой-либо геометрической задачи могут быть реализованы в системах компьютерной математики.

Методические указания общего характера по применению средств программы «Wolfram Mathematica 7»

Система компьютерной математики «Wolfram Mathematica 7» (далее просто WM7) предназначена для выполнения математических расчетов всех видов: числовых, символьных, графических. Работа пользователя с этой системой основана на программировании математических объектов и их свойств, а также действий с объектами.

1.При запуске программы WM7 в ее окне открывается рабочий лист *.nb. Одновременно появляется отдельное окно Welcome to WM7, из которого предлагается доступ к ресурсам системы.

2.Из окна Welcome to WM7 через Complete Documentation можно перейти в окно справочной службы Wolfram Mathematica: Documentation Center. Другой путь в окно Documentation Center проходит через меню Help на верхней панели окна программы WM7.

3.В режиме диалога пользователь вводит на текущий рабочий лист *.nb свои директивы (указания), формулируя их на языке программирования для СКМ WM7. Чтобы система корректно и однозначно распознавала все

6

формулировки пользователя, приходится соблюдать определенные правила.

4.При написании тех или иных формулировок широко используются различные средства системы, в том числе функции. Имена всех функций системы и другие служебные слова зарезервированы и начинаются с заглавной буквы. По этой причине имена переменных и функций, вводимых пользователем, не должны содержать заглавных букв.

5.О каждой функции системы исчерпывающая информация (выполняемые действия, правила написания, примеры использования, и т.п.) может быть найдена на странице этой функции в справочной службе.

6.Для задания свойств некоторых математических объектов (например, графических изображений) применяются опции. Если выбранная функция допускает опции, то исчерпывающая информация о доступных опциях (вместе с примерами) может быть найдена на странице этой функции в справочной службе WM7: Documentation Center.

7.При составлении той или иной формулировки применяются различные стили: FullForm, InputForm, OutputForm, StandardForm, а также

TraditionalForm, и др. Различие между стилями определяется мерой использованием основной клавиатуры. В частности, с основной клавиатуры компьютера можно вводить любые формулировки на языке программирования в стиле FullForm. Однако в других стилях для набора ряда специальных символов используются соответствующие комбинации клавиш.

8.Более эффективный ввод формулировок связан с программированием в стиле StandardForm. Для реализации этого способа в системе WM7 имеются палетки (Paletts) с различными виртуальными клавиатурами.

Полезная палетка Basic Math Assistant1 может быть установлена через меню Paletts на верхней панели окна программы WM7.

9.Палетка Basic Math Assistant содержит «карманы» Basic Commands и Typesettings. В каждый из этих «карманов» вложены виртуальные клавиатуры.

10.Виртуальные клавиатуры предназначены для ввода специальных символов и шаблонов элементов математических выражений.

11.При вводе какой-либо формулировки на рабочем листе формируется входная ячейка (Cell) In[#], отмеченная правой квадратной скобкой (]) на правом поле листа. После активации формулировки путем Shift+Enter отклик программы помещается в выходную ячейку Out[#], отмеченную правой квадратной скобкой (]) на правом поле листа.

1 И другие палетки тоже.

7

Некоторые сокращения в информационных ресурсах системы

«Wolfram Mathematica 7»:

Более подробные сведения можно найти в статье «Some General Notations and Conventions», или в иных информационных ресурсах (по гипер-ссылкам).

8

1. Кривые на плоскости

Цель работы состоит в освоении технологий решения типовых задач по теме «Кривые на плоскости». Основные задачи:

1)Определение кривой с использованием функций и уравнений;

2)Получение изображения кривой на основе аналитического описания.

Key words: Plot, ContourPlot, ParametricPlot, PolarPlot.

Возможные пути к ресурсам из окна Documentation Center:

1)Visualization and Graphics → Function Visualization.

2)Visualization and Graphics → Graphics Options & Styling.

Основные способы задания кривых (линий) на плоскости

По умолчанию предполагается, что на плоскости выбрана декартова система прямоугольных координат и . Через и обозначаются координатные прямые (оси).

Простая кривая. Первоначальные представления о кривой (или линии) на плоскости дает график какой-либо гладкой функции одной переменной:

= ( ) или = ( ),

где 1 ≤ ≤ 2 или 1 ≤ ≤ 2, соответственно.

Общая кривая вводится как множество всех точек = ( , ) на плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

, = ,

где , - некая гладкая функция, а = const. Фактически общая кривая представляет собой линию уровня функции данной = , в проекции на плоскость .

Параметризованная кривая (путь) состоит из таких точек = ( , ) на плоскости, координаты которых вычисляются по формулам (в зависимости от некого параметра ):

= , = ,

где 1 ≤ ≤ 2, а и - заданные гладкие функции (координатные функции). Если же 1 = 2 и 1 = 2 , то данная кривая будет замкнутой.

9

Уравнение кривой в полярных координатах

Пусть точка рассматривается как «полюс», а полупрямая ( ≥ 0) служит «полярной осью». Положение какой-либой точки ≠ на плоскости определяется полярными координатами ( , ), где – «полярный радиус» (совпадающий с длиной вектора ), а - «полярный угол» между и полярной осью. Декартовы прямоугольные координаты ( , ) произвольно взятой точки ≠ и ее полярные координаты ( , ) связаны формулами:

= cos , = sin .

С другой стороны, полярные координаты ( , ) точки выражаются через ее прямоугольные координаты ( , ) по формулам:

С использованием полярных координат уравнение кривой часто записывают в явном виде: = ( ), где 1 ≤ ≤ 2, а ( ) - заданная гладкая функция. В этом случае кривая допускает параметрические уравнения:

Нередко встречается запись уравнения кривой в неявном виде: Ψ , = , где Ψ , - некая гладкая функция, а = const. Переход к прямоугольным координатам ( , ) позволяет рассматривать данную кривую как общую кривую с уравнением:

В частности, если кривая задана в полярных координатах уравнением= ( ), то ее уравнение в прямоугольных координатах:

tg ( 2 + 2) = / .

Рекомендуемые средства системы Wolfram Mathematica 7:

10