ЛП_КомпГеом_1

3.16. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями = ln ,

= 2 ln , = 0.

3. 17. Найти площади каждой из двух частей, на которые круг 2 + 2 ≤ 2 разделен параболой 2 = 2 − 2.

3.18. Требуется найти площадь фигуры (лунки), ограниченной гиперболой

2 − 2 = 2 и параболой 2 2 = 3 .

3. 19. Требуется найти площадь гиперболического сегмента с высотой и основанием 2 (действительная полуось гиперболы равна ).

3.20. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной общей кривой2 2(2 − ) = 5 и ее асимптотой.

3.21. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной 2-мя линиями

2 − 2 = 2, ( 2 − 2)3 2 = 8, и осью ( > 0).

3. 22. Найти площади каждой из двух частей, на которые круг 2 + 2 ≤ 2 разделен гиперболой 4 2 − 3 2 = 2.

3. 23. Требуется найти площадь эллиптического сегмента с высотой и основанием 2 (большая полуось эллипса равна , основание сегмента параллельно малой оси).

3. 24. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной 2-мя простыми кривыми = 3/( 2 + 2), = ( 2 )/( 2 + 2), и осью .

3.25. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной общей кривой

2( 2 − 2) = 4 и ее асимптотами.

3.26. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной астроидой с уравнениями = cos3 , = sin3 .

3. 27. Требуется найти площадь фигуры внутри петли кривой с уравнениями

= /3 (3 − 2), = 2.

3.28. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной 1-ой аркой циклоиды

суравнениями = 2( − sin ), = 2(1 − cos ), и осью .

3.29. Требуется найти площадь петли кривой с уравнениями = 2 − 2,

= 2 2 − 3.

3. 30. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой с уравнением = (1 + sin ).

21

3. 31. Требуется найти площадь 1-го лепестка кривой = sin 2 .

3. 32. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной кривой = sin 5 .

3.33. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной 2-мя кривыми

= tg sec , = 2 cos , и полярной осью (т. е. при > 0).

3. 34. Требуется найти площадь фигуры, расположенной в 1-ой четверти, ограниченной 2-мя кривыми = tg , = / cos , и полярной осью (т. е. при > 0).

3. 35. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной 2-мя последовательными витками логарифмической спирали = exp , начиная с = 0.

3. 36. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной 2-мя кривыми

2 = 2 cos 2 и = 1 ( ≥ 1).

3. 37. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной кривой = cos 3 .

3. 38. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли с уравнением 2 = 2 sin 2 .

3. 39. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной окружностью

= 3 sin и кардиоидой = 1 − cos (вне кардиоиды).

3.40. Требуется найти площадь петли кривой = ( 2 − 1), = (4 − 3).

где > 0, > 0.

Задания на нахождение длины дуги кривой:

3. 41. Найти длину дуги параболы = 2 от = 0 до = 1.

3.42. Найти длину дуги кривой 3 = (3 − ) между точками ее пересечения с осью .

3.41. Найти длину дуги полукубической параболы 27 2 = 8( − )3, лежащей внутри параболы 2 = 2 .

3.42. Найти длину дуги кривой = ln( 2 − 2) (где > 1), лежащей выше оси .

3. 43. Найти длину замкнутой кривой 8 2 2 = 2( 2 − 2).

22

3.44. Найти периметр лунки, образованной окружностями 2 + 2 = 2 и

2 + 2 = 2 .

3. 45. Найти длину цепной линии 2 = ch 2 от = 0 до = 3.

3. 46. Найти длину дуги кривой = 2 ln sin( /2) от = 1/2 до = 3/2.

3.47. Найти длину дуги полукубической параболы 2 = 5( − )3, отсекаемой прямой = 2 ( > 0).

3.48. Найти длину дуги кривой, имеющей параметрические уравнения

= (3 cos − cos 3 ), = (3 sin − sin 3 ) от = 0 до = /2

( > 0).

3.49. Найти длину дуги кривой, имеющей параметрические уравнения

= cos , = sin от = 0 до = 1.

3. 50. Найти длину петли кривой с уравнениями = 2, = (1 − 3 2)/3.

3.51. Найти длину дуги кривой = 6/6, = (8 − 4)/4 между точками ее пересечения с осями координат.

3. 52. Найти длину петли кривой = ( 2 + 1), = ( 3 − 3 )/3 ( > 0).

3.53. Найти длину дуги логарифмической спирали = exp( ), находящейся внутри окружности = 1 ( > 0).

3.54. Найти длину дуги кардиоиды = 2(1 − cos ), находящейся внутри окружности = 1.

3. 55. Найти длину всей кривой = cos3( /3) ( > 0).

3.56. Найти длину дуги спирали Архимеда = 5 , находящейся внутри окружности = 10 .

3. 57. Найти длину всей кривой = cos4( /4) ( > 0).

3. 58. Найти длину всей кардиоиды = (1 − cos ) ( > 0).

23

4. Поверхности в пространстве

Цель работы состоит в освоении технологий решения типовых задач по теме «Поверхности в пространстве». Основные задачи:

1)Определение поверхности с использованием функций и уравнений;

2)Получение изображения поверхности на основе аналитического описания.

Key words: Plot3D, ContourPlot3D, ParametricPlot3D, RevolutionPlot3D.

Возможные пути к ресурсам из окна Documentation Center:

1)Visualization and Graphics → Function Visualization.

2)Visualization and Graphics → Graphics Options & Styling.

Основные способы задания поверхностей в пространстве.

По умолчанию предполагается, что в пространстве 3-х измерений выбрана декартова система прямоугольных координат , , . Через, , обозначаются координатные прямые (оси). Через , , обозначаются координатные плоскости.

Простая поверхность. Первоначальные представления о поверхности в пространстве дает график какой-либо гладкой функции 2-х переменных:

= ( , ), или = ( , ), или = ( , ),

где ( , ) , ( , ) , ( , ) , а через , , обозначены области определения функций , , .

Общая поверхность вводится как множество всех точек = ( , , ) в пространстве, координаты которых удовлетворяют уравнению

Φ , , = ,

где Φ , , , - некая гладкая функция, а = const.

Параметризованная поверхность состоит из таких точек = ( , , ) в

пространстве, координаты которых вычисляются по формулам (в зависимости от 2-х параметров ( , )):

= , , = , , = , ,

где ( , ) , а , , , , , - заданные гладкие функции (координатные функции).

24

Специальные поверхности.

Сюда относятся цилиндрические поверхности (цилиндры), конические поверхности (конусы), а также поверхности вращения.

Поверхность вращения может быть получена путем вращения заданной плоской кривой вокруг заданной прямой (так называемой оси вращения). Например, поверхность, образованная при вращении кривой , = 0,= 0 вокруг оси будет общей поверхностью с уравнением

Задания по теме «Поверхности в пространстве»

4.1. Для перечисленных ниже поверхностей требуется:

(a)Сформулировать определение;

(b)Найти параметрические уравнения, указать нерегулярные точки параметризации, координатную сеть;

(c)Найти общее уравнение, выяснить, является ли поверхность алгебраической, указать ее порядок;

(d)Найти уравнения касательной плоскости и нормали в произвольной (регулярной) точке;

(e)Получить изображение поверхности двумя способами.

Индивидуальные варианты задания:

(01) Круговой цилиндр.

(02) Круговой конус.

(03) Сфера.

25

(04) Параболоид вращения.

(05) Эллипсоид вращения.

(06) Однополостный гиперболоид вращения.

(07) Двуполостный гиперболоид вращения.

(08) Эллиптический параболоид.

(09)Гиперболический параболоид.

(10)Косой геликоид.

(11)Катеноид.

(12)Псевдосфера.

(13)Тор.

(14)Произвольная цилиндрическая поверхность.

(15)Произвольная коническая поверхность.

(16)Торс.

(17)Эллипсоид.

(18)Однополостный гиперболоид.

(19)Двуполостный гиперболоид.

(20)Произвольная поверхность вращения.

(21)Произвольная поверхность переноса.

(22)Произвольная линейчатая поверхность.

(23)Параболический цилиндр.

(24)Гиперболический цилиндр.

4.2.Получить изображение простой поверхности = ( , ).

Индивидуальные варианты заданий:

( , )

(01)9 2 − 4 + 6 2 + 16 − 8 − 2

(02)2 − 2 + 2 − 10 − 6 + 25

(03)5 2 + 12 − 22 − 12 − 19

(04)4 2 − 4 + 2 − 6 + 3 − 4

(05)2 2 + 4 + 5 2 − 6 − 8 − 1

26

4.3. Получить изображение общей поверхности Φ , , = 0.

Индивидуальные варианты задания:

Φ( , , )

4.4. Получить изображение параметризованной поверхности.

Индивидуальные варианты заданий:

= , , = , , = ,

(01)= cos , = sin , = cos2

(02)= cos , = sin , = sin4

(03)= sin , = cos , = cos2

(04)= sin , = cos , = cos4

27

Различные задания на получение изображения поверхности вращения:

4.5.Получить изображение поверхности, образованной вращением дуги цепной линии 2 = ch 2 (0 ≤ ≤ 3) вокруг оси .

4.6.Получить изображение поверхности эллипсоида, образованного вращением эллипса 4 2 + 2 = 4 вокруг: а) оси ; б) оси .

4.7.Получить изображение поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги кривой 3 = 3 от = −1 до = 1.

4.8.Получить изображение поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги кривой 6 = ( − 12) между точками ее пересечения с осью .

4.9.Получить изображение поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги полукубической параболы 9 2 = 4 3, отсекаемой прямой = .

4.10.Получить изображение поверхности, образованной вращением петли кривой 9 2 = (3 − )2 вокруг: а) оси ; б) оси .

4.11.Получить изображение поверхности, образованной вращением дуги кривой = exp(−/2) вокруг: а) оси ; б) оси .

4.12.Получить изображение поверхности, образованной вращением дуги кривой = (3 cos − cos 3 ), = (3 sin − sin 3 ), 0 ≤ ≤ /2,

вокруг: а) оси ; б) оси .

28

4.13.Получить изображение поверхности, образованной вращением петли кривой = ( 2 + 1), = (1 − 2/3) вокруг оси .

4.14.Получить изображение поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды = ( − sin ), = (1 − cos ) вокруг ее оси симметрии.

4.15.Получить изображение поверхности, образованной вращением окружности = 2 sin вокруг полярной оси.

4.16.Получить изображение поверхности, образованной вращением кардиоиды = (1 + cos ) вокруг касательной в ее вершине (2 , 0).

4.17.Получить изображение поверхности, образованной вращением кардиоиды = (1 + cos ) вокруг полярной оси.

4.18.Получить изображение поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды = ( − sin ), = (1 − cos ) вокруг оси .

4.19.Получить изображение поверхности, образованной вращением лемнискаты 2 = 2 sin 2 ) вокруг полярной оси.

4.20.Получить изображение поверхности тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной двумя линиями 2 = 2 и

2 + 2 − 3 = 0.

4.21.Получить изображение поверхности тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями = exp(−2 ) − 1,

= exp(−) + 1, = 0.

4.22.Получить изображение поверхности тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями = , = + sin2

(0 ≤ ≤ ).

4.23.Получить изображение поверхности тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями = 0.5 2 + 2 + 2,

= 2.

4.24.Получить изображение поверхности тела, образованного вращением параболического сегмента с основанием 2 и высотой вокруг высоты.

29

4.25.Получить изображение поверхности тела, образованного вращением фигуры, ограниченной параметризованной кривой = 2, = ln ( > 0) и осями координат вокруг: а) оси ; б) оси .

4.26.Получить изображение поверхности тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параметризованной кривой

= cos , = sin 2 и осью (0 ≤ ≤ ).

4.27.Получить изображение поверхности, образованной вращением астроиды = cos3 , = sin3 вокруг прямой = .

4.28.Получить изображение поверхности, образованной вращением кривой= cos2 вокруг полярной оси.

4.29.Получить изображение поверхности, образованной вращением лемнискаты Бернулли 2 = 2 cos 2 вокруг полярной оси.

4.30.Получить изображение поверхности тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой = (sin )/ и осью .

30