ЛП_КомпГеом_1

Задания по теме «Кривые на плоскости»

1.1.Пусть кривая Γ задана параметрическими уравнениями: = ( ),

= ( ). Требуется:

(a)Сделать анализ: найти ее асимптоты, точки перегиба, локальные экстремумы функций ( ) и ( ).

(b)Исключить переменную из параметрических уравнений и получить уравнение вида , = 0; определить ее порядок, найти особые точки этой кривой.

(c)Построить кривую Γ двумя способами.

Индивидуальные варианты задания:

11

1.2.Получить изображение общей кривой , = .

1.3.Получить изображение кривой, заданной в полярных координатах уравнением = ( ).

Индивидуальные варианты заданий:

12

2. Области на плоскости

Цель работы состоит в освоении технологий решения типовых задач по теме «Области на плоскости». Основные задачи:

1)Определение области с использованием функций и неравенств;

2)Получение изображения области на основе аналитического описания.

Key words: Plot, ContourPlot, ParametricPlot, RegionPlot, And(&&, ), Or(||, ), Not(!), Equal(==), Unequal(!=), Boole.

Возможные пути к ресурсам из окна Documentation Center:

1)Visualization and Graphics → Function Visualization.

2)Visualization and Graphics → Graphics Options & Styling.

2)Mathemathics and Algorithms → Logic & Boolean Algebra.

Здесь и ниже всякая область (фигура) на плоскости рассматривается как связное множество точек, граница которого составлена из гладких линий. При этом область обязательно имеет внутренние точки. Граница области может быть несвязной, т. е. может иметь компоненты связности.

Простые области имеют наиболее простое строение. Каждая простая область определяется условием с использованием ровно одного неравенства:

; { , : , ≤ } или ; { , : , ≥ },

где = const. Примерами простых областей могут служить:

●полуплоскость + ≤ ;

●круг ( − 0)2 + ( − 0)2 ≤ 2.

Составные области могут быть получены из простых фигур с помощью теоретико-множественных операций (∩, , \). В частности, сюда относятся

«подграфик» ( ) и «надграфик» ( ) какой-либо функции ( ):

{ , : ≤ , 1 ≤ ≤ 2};

{ , : ≥ , 1 ≤ ≤ 2}.

Область «междуграфика» для функций 1 и 2, определяемая неравенствами1( ) ≤ ≤ 2( ), может быть получена как пересечение:

1 ∩ 2 .

Вряде других случаев непустое пересечение вида

1; 1 ∩ 2; 2

13

может оказаться областью, граница которой составлена из линий (общих кривых) 1 , = 1 и 2 , = 2.

Метод характеристических функций. Нередко описание какой-либо области Ω формулируется как логическое выражение (или предикат) Ω ( , ) о взаимном расположении точки ( , ) и области Ω:

, Ω Ω , = True.

Тогда для такой области Ω можно ввести ее характеристическую функцию

С использованием своей характеристической функции область Ω может быть задана уравнением:

Ω , = 1.

Например, в случае области Ω = 1; 1 ∩ 2; 2 ее предикат имеет вид:

Ω , = 1 , ≥ 1 && 2 , ≤ 2

Рекомендуемые средства системы Wolfram Mathematica 7:

Задания на построение фигур (областей) в плоскости :

2.1. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной кривой

= ln и 3-мя прямыми = , = 2, = 0.

2. 2. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной эллипсом

2 2

2 + 2 = 1.

14

2.3. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной параболами

2 = 4 и 2 = 4 .

2.4. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной параболой

= 2 + 2 и прямой = 2 + .

2.5. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной кривыми

= 27/( 2 + 9) и = 2/6.

2.6. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной 2-мя кривыми

2 = 2 и 2 = 4( − )3, где > 0.

2.7. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной 2-мя окружностями 2 + 2 = 2, 2 + 2 − 2 = 2, и прямой = 2 + .

2.8. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной 2-мя кривыми = 3/( 2 + 2), = ( 2 )/( 2 + 2), и осью .

2.9. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной координатной осью , параболой ( − )2 = 2 ( − ), и касательной к ней в точке с абсциссой = ( > > 0, > 0).

2. 10. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной 2-мя кривыми = − 1, = 2 − 3, и осью .

2.11. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной параболой

= −2 + 2 + 3 и осью .

2.12. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной кривой

= arcsin и 2-мя прямыми = 0 и = /2.

2. 13. Требуется построить изображение верхней лунки, ограниченной 2-мя окружностями 2 + 2 = 2 и 2 + 2 + 2 = 2.

2.14. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной 2-мя линиями

+ = 2 и ( − 1)( + 2) = 2.

2.15. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной кривой

= ln , касательной к ней в точке = , и координатной осью .

2.16. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной линиями

= ln , = 2 ln , = 0.

2. 17. Найти площади каждой из двух частей, на которые круг 2 + 2 ≤ 2 разделен параболой 2 = 2 − 2.

15

2.18. Требуется построить изображение лунки, ограниченной гиперболой

2 − 2 = 2 и параболой 2 2 = 3 .

2. 19. Требуется построить изображение гиперболического сегмента с высотой и основанием 2 (где действительная полуось гиперболы равна ).

2.20. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной кривой2 2(2 − ) = 5 и ее асимптотой.

2.21. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной 2-мя линиями

2 − 2 = 2, ( 2 − 2)3 2 = 8, и осью ( > 0).

2. 22. Найти площади каждой из двух частей, на которые круг 2 + 2 ≤ 2 разделен гиперболой 4 2 − 3 2 = 2.

2.23. Требуется построить изображение эллиптического сегмента с высотой

и основанием 2 (большая полуось эллипса равна , основание сегмента параллельно малой оси).

2. 24. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной 2-мя кривыми = 3/( 2 + 2), = ( 2 )/( 2 + 2), и осью .

2.25. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной кривой

2( 2 − 2) = 4 и ее асимптотами.

2.26. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной астроидой с уравнениями = cos3 , = sin3 .

2. 27. Требуется построить изображение петли кривой с уравнениями

= /3 (3 − 2), = 2.

2. 28. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной 1-ой аркой циклоиды с уравнениями = 2( − sin ), = 2(1 − cos ), и осью .

2.29. Требуется построить изображение петли кривой с уравнениями

= 2 − 2, = 2 2 − 3.

2. 30. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной кардиоидой с уравнением = (1 + sin ).

2.31. Требуется построить изображение1-го лепестка кривой с уравнением

= sin 2 .

16

2.32. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной кривой

= sin 5 .

2. 33. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной 2-мя кривыми = tg sec , = 2 cos , и полярной осью (т. е. при

> 0).

2.34. Требуется построить изображение фигуры, расположенной в 1-ой четверти, ограниченной 2-мя кривыми = tg , = / cos , и полярной осью (т. е. при > 0).

2. 35. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной 2-мя последовательными витками логарифмической спирали = exp , начиная с = 0.

2. 36. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной 2-мя кривыми 2 = 2 cos 2 и = 1 ( ≥ 1).

2.37. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной кривой

= cos 3 .

2. 38. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли с уравнением 2 = 2 sin 2 .

2.39. Требуется построить изображение фигуры, ограниченной окружностью

= 3 sin и кардиоидой = 1 − cos (вне кардиоиды).

2.40. Требуется построить изображение петли кривой = ( 2 − 1), =

(4 − 3). где > 0, > 0.

17

3. Числовые характеристики геометрических объектов на плоскости

Цель работы состоит в освоении технологий решения типовых задач по теме «Числовые характеристики геометрических объектов на плоскости».

Основные задачи:

1)Нахождение площади области;

2)Нахождение длины кривой.

Key words: Plot, ContourPlot, ParametricPlot, PolarPlot, RegionPlot, D( ), Integrate(∫ ), And(&&, ), Or(||, ), Not(!), Equal(==), Boole.

Возможные пути к ресурсам из окна Documentation Center:

1)Visualization and Graphics → Function Visualization;

2)Visualization and Graphics → Graphics Options & Styling;

3)Mathematics and Algorithms → Calculus;

3) Mathematics and Algorithms → Logic & Boolean Algebra.

Площадь области (фигуры) на плоскости. Выбор формулы для нахождения площади зависит от способа задания области.

Если область задана как «междуграфик» 1 ∩ 2 (т. е. как область между графиками 2-х функций 1 и 2), то ее площадь выражается формулой

Если для каждого гладкого куска границы Γ рассматриваемой области известны параметрические уравнения, то ее площадь может быть найдена по формуле с использованием контурного интеграла:

Если граница области задана уравнением в полярных координатах, то площадь такой области может быть найдена по формуле

18

Если же для области Ω удается составить характеристическую функцию, то площадь области Ω может быть найдена по формуле с использованием двойного интеграла:

ΩΠΩ

где ΠΩ - это достаточно большой прямоугольник (контейнер), содержащий рассматриваемую область Ω. Размеры контейнера и координаты его вершин могут быть установлены визуальным путем.

Длина кривой (линии) на плоскости. Выбор формулы для нахождения длины зависит от способа задания кривой.

Длина простой кривой в виде графика гладкой функции = ( ) может быть найдена по формуле

2

= 1 + ( ′ ( ))2 .

1

Длина параметризованной кривой выражается формулой

2

= ( ′ ( ))2 + ( ′ ( ))2 .

1

Если кривая задана уравнением в полярных координатах, то ее длина может получена по формуле

2

= ( ( ))2 + ( ′ ( ))2 .

1

Рекомендуемые средства системы Wolfram Mathematica 7:

Задания на нахождение площади фигуры:

3.1. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной кривой = ln и 3-мя прямыми = , = 2, = 0.

19

3. 2. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом

2 2

2 + 2 = 1.

3.3. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной параболами 2 = 4 и

2 = 4 .

3.4. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной параболой = 2 + 2

ипрямой = 2 + .

3.5. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной 2-мя простыми кривыми = 27/( 2 + 9) и = 2/6.

3.6. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной кривыми 2 = 2 и2 = 4( − )3, где > 0.

3.7. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной 2-мя окружностями

2 + 2 = 2, 2 + 2 − 2 = 2, и прямой = 2 + .

3.8. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной 2-мя простыми кривыми = 3/( 2 + 2), = ( 2 )/( 2 + 2), и осью .

3.9. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной координатной осью, параболой ( − )2 = 2 ( − ), и касательной к ней в точке с абсциссой = ( > > 0, > 0).

3. 10. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной 2-мя простыми кривыми = − 1, = 2 − 3, и осью .

3.11. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной параболой

= −2 + 2 + 3 и осью .

3.12. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной кривой = arcsin и 2-мя прямыми = 0 и = /2.

3. 13. Требуется найти площадь верхней лунки, ограниченной 2-мя окружностями 2 + 2 = 2 и 2 + 2 + 2 = 2.

3.14. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной 2-мя линиями

+ = 2 и ( − 1)( + 2) = 2.

3.15. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной кривой = ln , касательной к ней в точке = , и координатной осью .

20