ЛП_КомпГеом_1

7.15.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги полукубической параболы 9 2 = 4 3, отсекаемой прямой = .

7.16.Найти площадь поверхности, образованной вращением петли кривой 9 2 = (3 − )2 вокруг: а) оси ; б) оси .

7.17.Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой= exp(−/2) вокруг: а) оси ; б) оси .

7.18.Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой

= (3 cos − cos 3 ), = (3 sin − sin 3 ), 0 ≤ ≤ /2, вокруг:

а) оси ; б) оси .

7.19.Найти площадь поверхности, образованной вращением петли кривой

= ( 2 + 1), = (1 − 2/3) вокруг оси .

7.20.Найти площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды = ( − sin ), = (1 − cos ) вокруг ее оси симметрии.

7.21.Найти площадь поверхности, образованной вращением окружности= 2 sin вокруг полярной оси.

7.22.Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды= (1 + cos ) вокруг касательной в ее вершине (2 , 0).

7.23.Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды= (1 + cos ) вокруг полярной оси.

7.24.Найти площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды = ( − sin ), = (1 − cos ) вокруг оси .

7.25.Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты2 = 2 sin 2 ) вокруг полярной оси.

Объем тела вращения. Если криволинейная трапеция (0 ≤ ≤ ,1 ≤ ≤ 2) вращается вокруг оси или вокруг оси , то объемы тел вращения вычисляются соответственно по формулам:

41

Если криволинейная сектор, ограниченный кривой = и 2-мя лучами= 1, = 2, вращается вокруг полярной оси , то объем тела вращения выражается формулой

Задания на нахождение объема тела вращения:

7.26.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями 2 = 2 и 2 + 2 − 3 = 0.

7.27.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями = exp(−2 ) − 1, = exp(−) + 1, = 0.

7.28.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями = , = + sin2 (0 ≤ ≤ ).

7.29.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями = 0.5 2 + 2 + 2, = 2.

7.30.Найти объем тела, образованного вращением параболического сегмента с основанием 2 и высотой вокруг высоты.

7.31.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной параметризованной кривой = 2, = ln ( > 0) и осями координат вокруг: а) оси ; б) оси .

7.32.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параметризованной кривой = cos , = sin 2 и

осью (0 ≤ ≤ ).

7.33.Найти объем тела, образованного вращением астроиды = cos3 ,= sin3 вокруг прямой = .

7.34.Найти объем тела, образованного вращением кривой = cos2 вокруг полярной оси.

7.35.Найти объем тела, образованного вращением лемнискаты Бернулли2 = 2 cos 2 вокруг полярной оси.

7.36.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой = (sin )/ и осью .

42

8. Геометрические приложения кратных интегралов

Цель работы состоит в освоении технологий решения типовых задач по теме «Геометрические приложения кратных интегралов». Основные задачи:

1)Нахождение площади области (фигуры) на плоскости;

2)Нахождение площади простой поверхности в пространстве;

3)Нахождение объема области (тела) в пространстве.

Key words: Plot, ContourPlot, ParametricPlot, PolarPlot, RegionPlot, D( ), Integrate(∫ ), And(&&, ), Or(||, ), Not(!), Equal(==), Boole.

Возможные пути к ресурсам из окна Documentation Center:

1)Visualization and Graphics → Function Visualization;

2)Visualization and Graphics → Graphics Options & Styling;

3)Mathematics and Algorithms → Calculus;

3) Mathematics and Algorithms → Logic & Boolean Algebra.

Площадь области на плоскости. Если имеется какая-либо область (фигура) в плоскости , то ее площадь может быть найдена по формуле

Чтобы продолжить вычислений, рекомендуется определить предикат областии ее характеристическую функцию

С использованием характеристической функции формула площади области приобретает вид:

= ( , ) ,

Π

где Π - достаточно большой прямоугольник (контейнер), содержащий область .

Площадь простой поверхности. Если поверхность задана как график функции = ( , ), то ее площадь может быть найдена по формуле

43

где - область определения функции ( , ) в плоскости . Как и выше, с использованием характеристической функции формула площади приобретает вид

где Π - прямоугольный контейнер, содержащий область .

Объем тела типа «усеченный цилиндр». Если область (тело) Ω

определяется условиями 0 ≤ ≤ ( , ), где ( , ) , то ее (его) объем выражается формулами

Объем области в пространстве. Если имеется какая-либо область (тело)

Ωв пространстве , то ее объем может быть найден по формуле

=

Ω

Чтобы продолжить вычислений, рекомендуется определить предикат области Ω и ее характеристическую функцию

С использованием характеристической функции формула данной области Ω приобретает вид:

= Ω ( , , )

ΠΩ

где ΠΩ - достаточно большой прямоугольный параллелепипед (контейнер), содержащий область Ω.

Задания на нахождение площади плоской фигуры:

7.1.Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми 2 = 4 + 4 2 и

+ = 2 ( > 0).

7.2.Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми = 4 и + = 5.

44

7.3.Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми ( 2 + 4 2) = 8 3,

= 2 , = 2 ( > 0).

7.4.Найти площадь фигуры, ограниченной 4-мя кривыми 2 + 2 = 2 ,

2 + 2 = 2 , = , = 0 ( > > 0).

7.5.Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми = (1 − cos ) и= (вне кардиоиды).

7.6.Найти площадь фигуры, ограниченной 2-мя кривыми 2 + 2 = 2 ,

( 2 + 2)2 = 2 2( 2 − 2).

7.7.Найти площадь фигуры, ограниченной петлей кривой ( + )4 = 2, лежащей в первой четверти ( > 0).

7.8.Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 2( −2 2 + −2 )2 = 2.

7.9.Найти площадь фигуры, ограниченной 4-мя кривыми 2 = , 2 = ,

2 = 3, 2 = 3 ( > > 0, > > 0).

7.10.Найти площадь фигуры, ограниченной 4-мя кривыми 2 = , 2 = ,

= , = ( > > 0, > > 0).

Задания на нахождение площади простой поверхности:

7.11.Найти площадь участка плоскости + + = , вырезаемого цилиндром 2 = и плоскостью = .

7.12.Найти площадь участка поверхности конуса 2 + 2 = 2, вырезаемого цилиндром 2 = 2 ( > 0).

7.13.Найти полную площадь поверхности тела, ограниченного цилиндрами2 = , 2 = , и плоскостью = 2 ( > 0).

7.14.Найти площадь участка поверхности конуса 2 + 2 = 2, вырезаемого плоскостями = 0, + = 2 , = 0.

7.15.Найти площадь участка поверхности конуса 2 + 2 = 2 , вырезаемого цилиндром 2 = 2 (2 − ).

7.16.Найти площадь участка поверхности сферы 2 + 2 + 2 = 2 2, заключенного внутри конуса 2 = 2 + 2.

45

7.17.Найти площадь участка поверхности параболоида = 2 − 2, заключенного между двумя другими параболоидами = 3 2 + 2 − 2

и = 3 2 + 2 − 4.

7.18.Найти площадь участка поверхности сферы 2 + 2 + 2 = 2, вырезаемого цилиндром с образующими, параллельными оси , направляющей которого служит 3-лепестковая роза = sin 3 .

7.19.Найти площадь участка винтовой поверхности = arctg( / ), вырезаемого цилиндром 2 + 2 = 2.

7.20.Найти площадь участка поверхности сферы 2 + 2 + 2 = 1,

заключенного между двумя плоскостями 3 = и = ( ≥ 0,

≥ 0).

Задания на нахождение объема тела:

В следующих заданиях требуется найти объемы тел, ограниченных указанными поверхностями.

7.26.= exp(−(( / )2 + ( / )2)), ( / )2 + ( / )2 = 1 ( > 0, > 0,

> 0).

7.29.= , = 1, = 2, 2 = , 2 = 3 .

7.30.= 2 + 2, = 1, = 2, = , = 2 , = 0 ( > 0, > 0).

46

9. Векторы и матрицы

Цель работы состоит в освоении технологий решения типовых задач по теме «Векторы и матрицы».

Key words: Dot (.), Cross (×), Norm, VectorAngle, Projection, MatrixForm, IdentityMatrix, DiagonalMatrix, RotationMatrix, Inverse, Transpose, Det, Tr, Eigenvalues, Eigenvectors, Eigensystem, CharacteristicPolynomial.

Возможные пути к ресурсам из окна Documentation Center:

1)Mathematics and Algorithms → Matrices and Linear Algebra;

2)Notebooks and Documents → Mathematical Typesettings.

Векторы как списки

В линейной алгебре всякий список, состоящий из действительных чисел, рассматривается как арифметический вектор (далее просто вектор), причем длина списка служит размерностью вектора. Векторы одной и той же длины

образуют арифметическое векторное пространство (действительное)

размерности dim # = . Общий вид вектора размерности :

= { 1, 2, … , }.

Вкаждом арифметическом векторном пространстве (ВП) фиксированной размерности (dim # = ) выполнимы линейные операции: сложение векторов и умножение вектора на действительное число (скаляр). Эти операции являются частными случаями общей формы:

+ ,

где и - векторы, и - скаляры. При этом нулевой список 0 = {0,0, … ,0} длины рассматривают как нулевой вектор.

Скалярное произведение и норма

В арифметическом ВП размерности dim # = вводят стандартное

скалярное произведение двух векторов:

Арифметическое ВП со скалярным произведением рассматривается как евклидово ВП. В евклидовом ВП определяют норму вектора по формуле:

Справка. В аналитической геометрии арифметические векторы возникают естественным путем как списки координат точек по отношению к системе координат с

началом . Всякая точка и ее радиус-вектор имеют единый список координат , так

что - это длина вектора . Если точки и имеют координатные списки и , то евклидово расстояние между этими точками выражается формулой:

, = − .

47

Геометрические применения векторной алгебры

При работе с векторами в программе WM7 скалярное произведение (Dot) и норма (Norm) вычисляются следующим образом:

. Norm[ ]

Тест на ортогональность векторов ( ):

. == 0

Угол между векторами и :

VectorAngle[ , ]

Проекция вектора на вектор :

Projection[ , ]

Указанные выше формулировки применимы в евклидовом пространстве любой размерности (dim# = ). В случае пространства 3-х измерений (когда= 3) можно добавить несколько полезных формул.

Векторное произведение 2-х векторов = { 1, 2, 3} и = { 1, 2, 3}

обозначается через × . В программе WM7 векторное произведение может быть получено с помощью функции Cross (×):

Cross[ , ]

Площадь параллелограмма, образованного векторами и , выражается формулой

= × .

Чтобы найти площадь параллелограмма в программе WM7, можно написать:

Norm[Cross , ]

Объем параллелепипеда, образованного векторами , , , выражается известной формулой:

= det ,

где матрица составлена из векторов , , . Чтобы найти объем данного параллелепипеда в программе WM7, можно написать (см. ниже):

Det[{ , , }]

Матрицы как списки векторов

В ряде разделов математики (и не только в линейной алгебре) широко используются матрицы. Всякая прямоугольная таблица чисел ( строк и столбцов) рассматривается как числовая матрица размера × . Общий вид матрицы размера × :

48

Матрицы одного и того же размера образуют некую алгебраическую систему (векторное пространство), в которой выполнимы линейные операции: сложение матриц и умножение матрицы на действительное число (скаляр). Эти операции являются частными случаями общей формы:

+ ,

где и - матрицы, и - скаляры. Как известно, существует правило умножения матрицы размера × на матрицу размера × (справа). При таком умножении получается матрица размера × .

В системе Mathematica всякий матричный объект рассматривается как список списков: 1-ую позицию списка занимает список элементов 1-ой строки, 2-ую позицию списка занимает список элементов 2-ой строки, и т. д. При желании можно рассматривать матрицу размера × как список векторов размерности . Ввод матрицы делается следующим образом:

= { 11, 12, … , 1 , 21, 22, … , 2 , … , 1, 2, … , }

Чтобы извлечь элемент данной матрицы, можно написать:

[ , ]

Умножение матриц выполняется с помощью функции Dot (.):

.

Наибольший интерес представляют квадратные матрицы ( = ). Все квадратные матрицы одного и того же размера × образуют более совершенную алгебраическую систему (алгебру матриц), в рамках которой выполнимы следующие алгебраические операции: линейные операции (сложение матриц и умножение матрицы на действительное число); умножение матриц. Эти операции являются частными случаями общей формы:

+ ,

где , , - квадратные матрицы размера × , и - скаляры. Особое положение в алгебре матриц занимает единичная матрица . Далее, матрицаназывается обратимой, если существует обратная матрица (обозначается через −1):

−1 = −1 = .

Вопрос о существовании обратной матрицы −1 тесно связан с вычислением определителя det матрицы . Если det ≠ 0, то обратная матрица −1 существует и может быть найдена известными способами.

49