1 Участок:

.

Рис. 3.2

2 Участок:

.

(направление — в обратную сто­рону).

3 Участок:

.

Приведенные уравнения стати­ки показывают, что продольная сила , действующая в каком-то сечении, является равнодействующей всех внешних сил, действующих по одну сторону проведен­ного сечения:

с одной стороны. (3.1)

Скачок на эпюре равен приложенной в этом сечении сосредоточенной силе.

В сечении А (рис. 3.2) (заделка) есть реакция , которую можно найти из

.

2. Напряжения и расчет стержней на прочность

При центральном растяжении (сжатии) в поперечном сечении возникают нормальные напряжения:

,

где — продольная сила;- площадь поперечного сечения.

Эти напряжения распределены по поперечному сечению равномерно (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Пример 1. Построить эпюру продольной силы (в долях ) и эпюру напряжений (в долях — рис. 3.4, а).

Рис. 3.4

Решение. Строим эпюру (рис. 3.4, б)

1 участок: .

2 участок: .

3 участок: . Строим эпюру напряжений(рис. 3.4,в)

1 участок: .

2 участок: .

3 участок: .

Расчет на прочность конструкций из пластичного материала отличается от расчета на прочность конструкций из хрупкого материала.

Для конструкции из пла­стичного материала допу­скаемое напряжение на растяжение и сжатие одина­ково.

Условие прочности:

, (3.2)

где — наибольшее поабсолютной величине на­пряжение.

Хрупкий материал зна­чительно хуже работает на растяжение, чем на сжатие:

,

где — допускаемое напряжение на сжатие; — допускаемое напряжение на растяже­ние.

Условие прочности для хрупкого материала:

, (3.3)

где и— наибольшие расчетные сжимающие и растягивающиенапряжения.

Условие прочности

может быть использовано для:

1. Проверочного расчета напряжений (известны и ):

2. Подбора поперечного сечения (известны и ):

.

3. Определения грузоподъемности (известны и ):

.

По полученному значению , используя эпюру продольных сил, определяем допустимую внешнюю нагрузку .

,

где — действующая внешняя нагрузка.

3. Деформации и перемещения при

РАСТЯЖЕНИИ — СЖАТИИ

При растяжении и сжатии бруса меняются его продольные и

по­перечные размеры (рис. 3.5).

При растяжении длина бруса меняется на:

,

а шири­на бруса меняется на:

.

При сжатии:

,

где — абсолютная продольная деформация (см, м);

— абсолютная поперечная деформация (см, м).

Рис. 3.5

Перейдем к относительным деформаци­ям (безразмерным):

- относительная продольная деформация;

- относительная поперечная деформация.

При растяжении бруса

;

при сжатии

,

т. е. и при растяжении, и при сжатии и , а следовательно, и имеют разные знаки, поэтому отношение этих величин (всегда отрицательное) берется по абсолютной величине.

Коэффи­циент поперечной деформации, или коэффициент Пуассона (табл. 3.1):

. (3.4)

Таблица 3.1

Материал
Сталь легированная Чугун серый	0,25 – 0,3 0,23 — 0,27

Закон Гука выражает прямо пропорциональную зависимость между нормальным напряжением и относительной деформацией:

. (3.5)

Закона Гука можно представить в другом виде:

. (3.6)

Из последнего выражения легко получить выражение (3.5):

,

где E—модуль продольной упругости (физическая постоянная материала, характеризующая его способность сопротивляться упругому деформированию, табл. 2);

EF—жесткость поперечного сечения бруса при растяжении — сжатии.

Таблица 3.2

Материал	, МПа
Сталь легированная Чугун серый Стекло Медь прокатная Алюминиевая проволока	(2,1 — 2,2) • 105 (1,15 —1,6) • 105 0,56 105 1,10 105 0,70 105

Деформация бруса (растяжение или сжатие) вызывает перемещение поперечных сечений. На рис. 3.6 показан брус, каждое волокно которого удлиняется на величину

- (здесь ),

а сечение — перемещается в положение — на величину .

Рис. 3.6 Рис. 3.7

В этом случае:

.

Рассмотрим брус, показанный на рис. 3.7. Левый участок бруса деформируется и сечение — перемещается в положение — на величину ; правый участок недеформируется (нет продольной силы) и каждое его сечение оказывается перемещенным на эту же величину . Сечениет — т переместится на столько же, насколько переместилось сечение — :

.

Рассмотрим случай, когда продольная сила есть на обоих участках рассматриваемого бруса (рис. 3.8). Перемещение сечения т — т () (правое сечение) зависит от перемещения сечения — () и перемещения сечения т — т относительно сечения п — п ():

,

где .

Рис. 3.8

Для рассматриваемого при­мера (EF= const):

;

.

Перемещение можно получить, используя не внутренние усилия, а внешние силы. Рассуждаем так: сила растягивает только участок длиной сила растягивает весь брус длиной :

.

Используя полученные значения, построим эпюру перемещений (рис. 3.8). Учитываем, что в заделке перемещение равно нулю ().

При перемещении бруса от действия собственного веса (рис. 3.9), считая вес груза сосредоточенным в середине длины , получим

,

Рис. 3.9

где — вес бруса длиной ; — удельный вес материала.