Тема 5. Прогнозирование временных рядов.

Временным ( динамическим ) рядом называется последовательность наблюдений некоторой переменнойyв последующие моменты времени

t=1, 2, …,n.

Обычно модель временного ряда представляется в виде уравнения парной регрессии

_t=f(t) , (5.1)

которое показывает, как в среднем меняется y в зависимости от t. Чаще всего временной ряд рассматривается в виде линейного тренда

_t= b₀ + b₁t. (5.2)

Коэффициент b_o и b₁ могут быть найдены с помощью метода наименьших квадратов по следующим формулам:

где n – число наблюдений переменных t и y,

Используя временные ряды, можно осуществлять процедуру прогнозирования, которая представляет собой процесс построения умозаключений о будущем на основании имеющейся модели.

Существует два вида прогнозов: точечный и интервальный. Точечный прогноз представляет собой оценку значения прогнозируемой переменной и находится в результате подстановки в линейный тренд _t=b₀+b₁t времени прогноза t = T. Интервальный прогноз представляет собой интервал, который с некоторой априорной вероятностью, называется достоверностью прогноза, содержит неизвестное значение прогнозируемой переменной.

Пусть T – время прогноза, тогда погрешность прогноза вычисляется по формуле:

S_T=, (5.4)

где S– погрешность случайных отклонений, – временная средняя величина. При заданной достоверности прогноза по таблице функции Лапласа определяется соответствующий параметр. Истинное значение прогнозируемой переменной с вероятностью располагается в интервале с центром в точечном прогнозе, то есть

Пример 5.1.

Статистические данные о длине электрофицированных железнодорожных путей ( тыс. км) представлены в таблице в виде временного ряда

Год	1970	1971	1972	1973	1974	1975	1976	1977	1978	1979	1980	1981	1982	1983	1984
yt	3,9	4,0	4,4	4,7	5,1	5,6	6,0	6,3	6,5	6,7	6,9	7,1	7,4	7,8	8,3

Определить точечный и интервальный прогноз на длину таких путей на 1989 год, если достоверность прогноза = 0,95.

Решение:

По данным таблицы, используя метод наименьших квадратов, построим линейный тренд = 3,581 + 0,382t. При этом считаем, что 1970 год соответствуетt=1, 1971 год – t=2,… 1984 год – t=15, следовательно 1989 год соответствует t=T=20.

Найдем точечный прогноз: = 3,581+0,38220=9,348 тыс.км. Погрешность случайных отклонений определяем по формуле:

,

откуда по формуле (5.4) погрешность прогноза

=0,203 тыс. км.

Согласно таблице функции Лапласа при = 0,95 имеем= 1,96. Таким образом, интервальный прогноз представлен интервалом

(9,348-0,203= ( 9,745; 10,143).

Следовательно с вероятностью =0,95 можно предположить, что в 1989 году длина электрофицированных железнодорожных путей будет находиться в этом интервале.