- •Задание: изучить и законспектировать лекцию, ответить письменно на базовые вопросы. Решить задачу №4 со своими данными. Теорему Резаля не надо.
- •1. Тонкое кольцо.
- •2. Тонкие пластины.
- •2.Теорема об изменении кинетического момента механической системы.
- •Теорема об изменении кинетического момента механической
- •3. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела относительно оси.
- •4.Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.
- •Базовые вопросы
4.Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.
Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела представляют собой совокупность уравнений поступательного движения плоской фигуры вместе с центром масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс:
,
,
.
Задача 3. Однородный круглый цилиндр массы М обмотан посредине тонкой нитью, конец В которой закреплен неподвижно. Цилиндр падает без начальной скорости, разматывая нить. Определить скорость оси цилиндра, после того как он опустится на высоту h, и найти натяжение нити .
Решение. Изобразим цилиндр в произвольном положении. Покажем силы: вес и силунатяжения нити . Запишем дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения:
;
.
Заменим и умножим первое уравнение наR, а затем его сложим со вторым. Получим
.
Заменим .
После интегрирования получим
.
Так как , то.
Натяжение нити
.
Задача 4. Шкив массой т = 90 кг и радиусом r = 30 см вращается с угловой скоростью ω = 20 с–1. Для его остановки на шкив оказывается действие через невесомый ремень, натяжения ветвей которого равны Т1= 40 Н и Т2 = 20 Н (рис. 55). Радиус инерции шкива ρ = 20 см. Определить время торможения шкива t1 и угол φ1, на который он повернется за это время.
Рис. 55 Рис. 56
Решение. Рассмотрим все силы, действующие на шкив и прилежащую к нему часть ремня: силы натяжения ветвей ремня Т1 и Т2 , силу тяжести шкива G, составляющие реакции в подшипниках Х0 и У0 (рис. 56). Применим к шкиву дифференциальное уравнение вращательного движения относительного его оси z
.
Здесь кгм2 — осевой момент инерции шкива. Стоящий в правой части уравнения главный момент внешних сил относительно оси вращения обозначим для краткости . Он будет в данном случае равен Нм, поскольку силы G, Х0 и У0 имеют нулевые моменты относительно оси z (моменты сил, действующих по движению, должны браться со знаком «плюс», а против движения — со знаком «минус»).
Таким образом, дифференциальное уравнение вращательного движения имеет вид
Для интегрирования этого уравнения делим переменные, учитывая что =const и Jz = const
, (*)
после чего в левой и правой частях ставим интегралы.
После интегрирования , получим
,
oткуда
,
где постоянная интегрирования C1 может быть найдена из начального условия ω = ω0 при t = 0. Подставив в уравнение эти значения, получим Jz, и тогда Jz, откуда
.
Используя последнее соотношение, можно найти время торможения шкива, т. е. время tl за которое угловая скорость обратится в ноль
и тогда
Для определения угла поворота φ, заменив в уравнении для угловой скорости ω=dφ/dt, получим
Деля здесь переменные и интегрируя с использованием определенных интегралов (учитывая, что φ = 0 при t = 0), находим
откуда
.
Окончательно имеем рад, что соответствует числу N оборотов шкива: = 19,1 оборотов.
Ответ: t1 = 12 с; φ1 = 120 рад.