Теорема об изменении кинетического момента механической

системы относительно центра. Производная по времени от кинетического момента ме­ханической системы относительно некоторого неподвижно­го центра равна геометрической сумме моментов всех внеш­них сил, действующих на систему, относительно того же центра.

Доказательство. Для k – й точки системы

.

Выполняя суммирование по всем точкам системы, получим

где — главный момент внешних сил относительно центраО; — по свойству внутренних сил.

.

Следствие. Если главный момент внешних сил относи­тельно некоторого центра равен нулю, то кинетический мо­мент системы относительно этого центра не изменяется (за­кон сохранения кинетического момента).

Теорема моментов относительно оси. Производная по времени от кинетического момента ме­ханической системы относительно некоторой неподвижной оси равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно этой оси.

Доказательство. Спроецируем векторное равенство на оси декартовых координат, получим

.

где — кинетические моменты механической системы относительно осей координат;— главные мо­менты внешних сил относительно осей координат.

Следствие. Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси не изменяется.

, тогда .

Теорема Резаля. Скорость конца вектора кинетического момента меха­нической системы относительно некоторого неподвижного центра равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему, относительно того же центра .

- главный момент внешних сил. С дру­гой стороны - скорость конца векторакинети­ческого момента. Следовательно,

.

Эта теорема используется в теории гироскопов.

3. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела относительно оси.

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси можно получить из теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно оси, например, относительно оси z

.

Так как кинетический момент твердого тела относитель­но оси, то

.

Если =const, то дифференциальное уравнение враща­тельного движения тела

.

Так как или, то уравнение мож­но записать в виде

.

или

.

Задача 1. Момент инерции вала с насаженным на него маховиком относительно оси вращения равен 20 кгм². Вал приводится в движение вращающим моментом 40 Нм. Определить момент сопротивления в опорах вала, если он вращается с постоянным угловым ускорением s = 1,5 рад/с². Момент сопротивления считать постоянным.

Решение. Дифференциальное уравнение вращения запишем в виде или. Отсюда

.

Задача 2. Твердое тело, находящееся в покое, приводится во вращение вокруг неподвижной вертикальной оси постоянным моментом М. При этом возникает момент сопротивления , пропорцио­нальный угловой скорости вращения:, где=const. Определить закон изменения угловой скорости . Момент инерции тела относительно оси вращения равенI.

Решение. Запишем дифференциаль­ное уравнение вращения тела в виде

или .

Разделим переменные и проинтег­рируем:

или

,

отсюда

.