Задание: изучить и законспектировать лекцию, ответить письменно на базовые вопросы. Решить задачу №4 со своими данными. Теорему Резаля не надо.

Лекция 4

Динамика вращательного движения твердого тела

Учебные вопросы:

1. Моменты инерции твердого тела.

2.Теорема об изменении кинетического момента механической системы.

3.Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела относительно оси.

4.Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.

1. Моменты инерции твердого тела.

Осевые моменты инерции — скалярные величины, рав­ные сумме произведений масс всех точек тела на квадраты расстояний от этих точек до соответствующих координатных осей.

Возьмем в теле точку с координатамии массой. Тогда осевые моменты инерции

,

где — расстояние от точкидо осих.

Аналогично

.

Момент инерции твердого тела относительно оси может определяться по формуле

.

где — радиус инерции тела относительно оси — расстояние от осиz до такой точки тела, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции этой точки был равен моменту инерции всего тела.

1. Тонкое кольцо.

Масса М распределена по внешней поверхности

.

2. Тонкие пластины.

Масса М равномерно распределена по сечению:

а) круглая пластина (диск):

;

б) прямоугольная пластина:

;

в) круглая пластина с отверстием

.

.

Теорема о моментах инерции твердого тела относительно

параллельных осей (теорема Гюйгенса - Штейнера).

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции тела относительно параллельной оси проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями.

Доказательство. Выберем: в центре масс С тела начато ко­ординат осей xyz. Возьмем в теле точку массы. Проведем на расстоянииd от оси z ось . Тогда мо­мент инерции относительно этой оси

где - момент инерции тела, относительно оси, проходящей через центр масс;

;

,

т. к. (начало координат взято в центре масс). Тогда

.

Центробежные моменты инерции учитывают асимметрию в распределении масс, вычисляются относительно пары коор­динатных осей но формулам

.

В отличие от осевых центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Это зависит от выбора начала осей координат и их направления.

Ось, относительно которой центробежные моменты инер­ции, содержащие в своих индексах наименование этой оси, рав­ны нулю, называется главной осью инерции тела.

Главная ось инерции, проходящая через центр масс тела, называется глав­ной центральной осью инерции. Главными осями инерции твер­дого тела являются его оси симметрии.

2.Теорема об изменении кинетического момента механической системы.

.

Алгебраический момент количества движения матери­альной точки относительно некоторого центра О — скаляр­ная величина, взятая со знаком (+) или (-) и равная произ­ведению модуля количества движения на расстояние h (перпендикуляр) от этого центра до линии, вдоль которой направлен вектор:

Правило знаков: — при движении точки против хода часовой стрелки;- то же по ходу часовой стрелки

.

Векторный момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра О — вектор, прило­женный в этом центре и направленный перпендикулярно плоскости векторов ив ту сторону, откуда движение точки видно против хода часовой стрелки.

Это определение удовлетворяет векторному равенству

.

Моментом количества движения материальной точки от­носительно некоторой оси z называется скалярная величина , взятая со знаком (+) или (-) и равная произведению модуляпроекции вектораколичества движения на плос­кость, перпендикулярную этой оси, на перпендикулярh, опу­щенный из точки пересечения оси с плоскостью на линию, вдоль которой направлена указанная проекция:

lz .

Правило знаков:

смотрим навстречу оси z

—при движении точки против хода часовой стрелки

- то же по ходу часовой стрелки.

, если

Кинетический момент механической системы относительно центра. Для k- й точки системы — векторный момент. Для всей системы

.

Кинетическим моментом или глав­ным моментом количеств движения механической системы относитель­но некоторого центра называется геометрическая сумма моментов ко­личеств движения всех материаль­ных точек системы относительно то­го же центра.

Кинетический момент относительно оси. Для k-й точки — алгебраическая величина.

Для всей системы

.

Кинетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно некоторой оси на­зывается алгебраическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек систе­мы относительно той же оси.

Кинетический момент твердого тела, вращающегося во­круг неподвижной оси z с угловой скоростью .

Для k – й точки тела

.

Для всего тела

,

где — момент инерции тела относительно оси. Итак,

.

Производная по времени от момента количества движе­ния материальной точки относительно некоторого непод­вижного центра равна моменту силы, действующей на точ­ку, относительно того же центра.

Доказательство . Пусть

.

—момент силы относительно точкиО. Итак,

.

Следствие. Если линия действия равнодействующей при­ложенных к точке сил все время проходит через неподвиж­ный центр, то момент количества движения материальной точки относительно этого центра остается постоянным.

Производная по времени от момента количества движе­ния материальной точки относительно некоторой оси равна моменту силы, действующей на точку, относительно той же оси.

Доказательство. Запишем в проекциях на оси декар­товых координат, учитывая, что

и

.

Тогда

,

где — моменты количества движения материальной точки относительно осей координат;,,— моменты силы относительно тех же осей.

Следствие. Если момент равнодействующей сил, дейст­вующих на материальную точку, относительно некоторой оси равен нулю, то момент количества движения матери­альной точки относительно той же оси остается величиной постоянной.