Пример 5.

Исходные данные: N = 1580 кН; бетон фундамента – В12 ( = 0,75 кН/см²;

колонна двухветвевая из швеллеров №27; сталь – С245.

Р Е Ш Е Н И Е

1. При расчете стержня колонны было принято жесткое сопряжение колонны с фундаментом и определено расстояние между наружными гранями ветвей В = 300 мм.

2. Определим необходимую площадь опорной плиты:

A_pl,req = N / (R_b,loc∙γ_c) = 1580 / (0,9∙1,0) = 1756 см²,

где R_b,loc = α·φ·R_b = 1∙ 1,2∙ 0,75 = 0,9 кН/см².

Примем габариты плиты L х B = 420 х 420 мм; A_pl = 42∙ 42 = 1764 см².

Конструкцию базы примем с двустенчатыми раздельными траверсами (см. рис. 25).

Рис. 25

3. Определим толщину плиты.

Среднее напряжение в бетоне

σ_b = 1580 / 1764 = 0,896 кН/cм².

• Участок 1. b / a = 300 / 270 = 1,11 α₁ = 0,055;

M₁ = α₁∙ σ_b∙ a² = 0,055∙ 0,896∙ 27² = 35,9 кН∙см.

• Участок 2. b₁ / a₁ = 60 / 270 = 0,22 < 0,5; в этом случае момент определяется как для консоли длиной «b»

M₂ = σ_b∙ b ²/ 2 = 0,896∙ 6² = 16,13 кН∙см.

• Участок 3. b / a = 65 / 220 = 0,295 < 0,5

M₃ = 0,896∙ 6,5² / 2 = 18,93 кН∙ см.

Так как момент на участке 1 намного превышает моменты на других участках, уменьшим его размеры постановкой диафрагмы, приваренной к ветвям колонны (см. рис.).

• Участок 1^* (измененный): b / a = 300 / 135 = 2,22 > 2.

В этом случае момент определяется как в однопролетной шарнирно опертой балке - α₁ = 0,125;

M₁ = α₁∙ σ_b∙ a² = 0,125∙ 0,896∙ 13,5² = 20,41 кН∙см.

По наибольшему моменту определяем требуемую толщину опорной плиты

t_pl = √ 6M_max / (R_y∙γ_c) = √ 6 20,41 / (24∙ 1,0) = 2,26 см.

Принимаем t_pl = 24 мм.

4. Расчет траверс.

Элементы траверс привариваются к ветвям колонны восемью сварными швами.

Выявим прочность сварных швов при ручной сварке:

β_f∙ R_wf∙∙ γ_wf = 0,7∙18∙ 0,85 = 10,71 кН/см²;

β_z∙ R_wz∙ γ_wz = 1,0∙ 0,45∙ 37∙ 0,85 = 14,15 кН/см².

Расчет необходимо вести по металлу шва.

Приняв k_f = t_r = 10 мм, получим

h_tr,req = N_tr / [8k_f (β_f∙ R_wf∙∙ γ_wf)∙γ_c] = 1580 / (8∙ 1,0∙ 0,7∙ 18∙ 0,85∙ 1,0) = 18,44 см

Примем h_tr = 200 мм.

Проверим прочность траверсы на изгиб и срез. Траверса рассматривается как консольная балка, защемленная в месте ее примыкания к стенке швеллера.

Погонную нагрузку одного листа траверсы в запас прочности (без учета влияния ребер опорных столиков) можно принять

q_tr = σ_b∙ (a /2 + t_tr + c) = 0,896∙ (27 / 2 + 1 + 6,5) = 18,8 кН/см.

Изгибающий момент и поперечная сила в траверсе

M_tr = q_tr∙ b² / 2 = 18,8∙ 6² / 2 = 338,4 кН∙см.

Q_tr = q_tr∙ b = 18,8∙ 6 = 112,8 кН.

Момент сопротивления листа траверсы

W_tr = t_tr∙ h_tr²/ 6 = 1∙ 20² / 6 = 66,7 см³.

Условие прочности по нормальным напряжениям

M_tr / (W_tr∙ R_y∙ γ_c) = 338,4 / (66,7∙24∙ 1,0) = 0,21 << 1.

Условие прочности по касательным напряжениям

Q_tr / (h_tr∙ t_tr∙ R_s∙ γ_c) = 112,8 / (20∙ 1,0∙ 0,58∙ 24∙ 1,0) = 0,405 < 1.

Прочность траверс обеспечена. Большой запас обусловлен тем, что высота траверс определялась, исходя из прочности сварных швов, прикрепляющих их к ветвям.

5. Расчет диафрагмы.

Диафрагма, уменьшающая размеры участка 1, соединяется с ветвями колонны (швеллеры) угловыми сварными швами. Поэтому ее необходимая высота должна определяться прочностью этих швов.

Расчетную схему диафрагмы в запас прочности можно рассматривать как балку на двух опорах, нагруженную распределенной нагрузкой, собранной с соответствующей грузовой площади. Эту грузовую площадь (опять же в запас прочности) можно определить так:

A_gr,d = a / 2∙ b = 27 / 2∙ 30 = 405 см².

Погонная нагрузка на диафрагму составит

q_d = σ_b∙ A_gr,d / l_d = 0,896∙ 405 / 30 = 12,1 кН/см.

Тогда

M_d = 12,1∙ 30² / 8 = 1361 кН∙см;

Q_d = 12,1∙ 30 = 181,5 кН.

Требуемый момент сопротивления диафрагмы по условию прочности на изгиб

W_d,req = M_d / (R_y∙ γ_c) = 1361 / (24∙ 1,0) = 56,7 см³.

Тогда требуемая высота диафрагмы

h_d,req = √ 6W_d,req / t_d = √ 6∙ 1361 / 1,0 = 18,44 см.

Примем h_d = 190 мм.

Условие прочности по касательным напряжениям

Q_tr / (h_d∙ t_d∙ R_s∙ γ_c) = 181,5 / (19∙ 1,0∙ 0,58∙ 24∙ 1,0) = 0,686 < 1.

5а. Уточненный расчет диафрагмы.

При условии приварки ветвей колонны грузовая площадь диафрагмы составит (см. рис.):

A_gr,d = 1/2∙ (b_n + b_v)∙ 2h = 1/2∙ (30 + 16,5)∙ 2∙ 6,75 = 313,86 см².

Рис. 26

Погонная нагрузка на диафрагму составит

q_d = σ_b∙ A_gr,d / l_d = 0,896∙ 313,86 / 30 = 9,4 кН/см.

Тогда, рассматривая диафрагму как балку, защемленную по обоим концам, получим

M_d = 9,4∙ 30² / 12 = 705 кН∙см;

Q_d = 9,4∙ 30 = 141 кН.

Требуемый момент сопротивления диафрагмы по условию прочности на изгиб

W_d,req = M_d / (R_y∙ γ_c) = 705 / (24∙ 1,0) = 29,4 см³.

Требуемая высота диафрагмы

h_d,req = √ 6W_d,req / t_d = √ 6∙ 29,4 / 1,0 = 13,3 см.

Примем h_d = 140 мм.

Условие прочности по касательным напряжениям

Q_tr / (h_d∙ t_d∙ R_s∙ γ_c) = 141 / (14∙ 1,0∙ 0,58∙ 24∙ 1,0) = 0,724 < 1.

Рис. 27

6. Расчет швов, прикрепляющих диафрагму к колонне, на равнодействующую касательных напряжений от изгиба и среза.

Проверим прочность на срез по металлу шва

τ_w = √ {6 M_r / [β_f∙ k_f ∙2(h_d – 1см)²]}² + {Q_r / [β_f ∙k_f∙∙2(h_d – 1 см)])² =

= √ {6∙ 705 / [0,7∙ 1,0∙ 2∙ (14 – 1 )²]}² + (254,6 / [0,7∙ 1,0∙ 2∙ (14 – 1)]}² =

= 19,5 кН/см² > 15,3 кН/см².

Прочность швов не обеспечена. Увеличим высоту диафрагмы h_d = 160 мм.

Проверим прочность на срез по металлу шва

τ_w= √ {6∙ 2418,7 / [0,7∙ 1,0∙ 2∙ (16 – 1 )²]}² + (254,6 / [0,7∙ 1,0∙ 2∙ (16 – 1)]}² =

= 15,02 кН/см² < 18∙ 0,85 = 15,3 кН/см² .

Проверим прочность швов на срез по металлу границы сплавления:

τ_w = √ {6 M_r / [β_z∙ k_f ∙2(h_r – 1см)²]}² + {Q_r / [β_z ∙k_f∙∙2(h_r – 1 см)])² =

= √ {6∙ 2418,7 / [1,0∙ 1,0∙ 2∙ (16 – 1 )²]}² + (254,6 / [1,0∙ 1,0∙ 2∙ (16 – 1)]}² =

= 10,51 кН/см² < 0,45∙ 37∙ 0,85 = 14,15 кН/см² .

3. Расчет швов, прикрепляющих траверсы и диафрагму к опорной плите.

Требуемый катет швов крепления траверсы к плите:

k_f ≥ q_tr∙ L_tr / [β_f∙∙(L_tr + b)∙ R_wf∙∙ γ_wf =

= 18,8∙ (2∙ 2 + 2∙ 1 + 6) / [0.7∙ (2∙ 2 + 2∙ 1 + 6 + 6)∙ 18∙ 0,85] = 1,17 см.

Примем k_f = 12 мм.

Требуемый катет швов крепления диафрагмы к плите:

k_f ≥ q_d∙ L_d / (β_f∙∙ 2L_d∙ R_wf∙∙ γ_wf ) =

= 9,4∙ 30 / (0.7∙ 2∙ 30∙ 18∙ 0,85) = 0,45 см.

По таблице 38^* [1] при толщине плиты t_pl = 24 мм минимальный размер катета шва k_f = 8 мм.

Пример 6. База с фрезерованным торцом.

Исходные данные те же, что и в примере 5, но:

Стержень колонны из двутавра №26К3 (h = 262 мм; b_f = 260 мм).

Приближенный расчет

1. При фрезерованном торце стержня колонны плиту обычно принимают квадратной. Габаритные размеры опорной плиты определяются аналогично примеру 5.

2. Плита работает как пластинка на упругом основании, воспринимающее давление, сконцентрированное на участке, ограниченном контуРис. 28 ром стержня колонны.

Ведя расчет в запас прочности, можно определить изгибающий момент в плите по кромке колонны, рассматривая трапецеидальный участок плиты как консольную балку с поперечным сечением b∙ t_pl, где b – ширина плиты у кромки стержня колонны.

Изгибающий момент в месте сопряжения плиты с колонной равен

M = σ_b∙ A∙c,

где А – площадь трапеции, заштрихованной на рисунке;

с – расстояние от центра тяжести трапеции до кромки колонны.

Площадь трапеции равна

A = 1/2(b_n + b_v)∙ h = 1/2 (42 + 26,2)∙ (21 – 13) = 272,8 см².

Размер с составит

c = (2b_n + b_v) h / [3∙ (b_n + b_v)] = (2∙ 42 +26,2)∙ 8 / [3∙ (42 + 26,2)] = 4,3 см.

Тогда

М = 0,896∙ 272,8∙ 4,3 = 1053,2 кН∙ см.

Требуемая толщина плиты

t_pl = √ 6M / b∙ R_y = √ 6∙ 1053,2 / (26,2∙ 24) = 3,17 см.

Принимаем t_pl = 32 мм.

Уточненный расчет

Точный расчет, учитывающий фактический пространственный изгиб плиты, для прямоугольной пластинки весьма сложен, однако он может быть упрощен, если заменить прямоугольную плиту и сечение колонны равновеликими им по площади кругами.

1. Площадь контура колонны: A_k = h∙ b_f = 26,2∙ 26 = 681,2 см².

2. Диаметр эквивалентного по площади круга: A_k^* = π∙ d² / 4;

d_k = √ 4A_k / π = √ 4∙ 681,2 / 3,14 = 29,5 см.

3. Площадь плиты A_pl = 42 x 42 = 1764 см²; отсюда

d_pl = √ 4∙ 1764 / 3,14 = 47,4 см.

4. Отношение «радиуса колонны» к «радиусу плиты»

β = d_k / d_pl = 0,62 ≈ 0,6.

Тогда коэффициенты, зависящие от отношения «радиуса колонны» к «радиусу плиты» k_r = 0,02 и k_τ = 0,0377 (по табл. 6.10 [2]);

5. Вычислим изгибающие моменты в радиальном M_r и тангенциальном M_τ направлениях при ширине расчетного элемента 1 см:

M_r = k_r∙ N = 0,02∙ 1580 = 31,6 кН∙ см;

M_τ = k_τ∙ N = 0,0377∙ 1580 = 59,6 кН∙ см;

6. По найденным моментам определяем нормальные и касательные напряжения, приняв толщину плиты t_pl = 36 мм (больше, чем в упрощенном расчете):

σ_r = 6 M_r / t_pl² = 6∙ 31,6 / 3,6² = 14,63 кН/см²;

σ_τ = 6 M_τ / t_pl² = 6∙ 59,6 / 3,6² = 27,59 кН/см²;

τ = N / (2π∙ b∙ t_pl) = 1580 / (2∙ 3,14∙ 26,2∙ 3,6) = 2,67 кН/см².

7. Прочность проверяется по приведенным напряжениям по формуле

σ_уf = √ σ_r² + σ_τ² – σ_r∙ σ_τ + 3τ² =

√ 14,63² + 27,59² – 14,63∙ 27,59 + 3∙ 2,67² = 24,35 кН/см² <

< 1,15R_y∙ γ_c = 1,15∙ 24∙ 1,0 = 27,6 кН/см².

Прочность обеспечена.

Пример 7. Исходные данные: колонна из двутавра №26К1;

N = 1580 кН; бетон фундамента – В12 (R_b = 0,75 кН/cм²);

сталь С245 (R_y = 24 кН/см²).

Рис. 29

Примем конструктивное решение базы с ребрами (см. рис.).

Ребра разделяют опорную плиту на два участка: 1-ый – плита, опертая на три канта и 2-ой – консольная плита.

Проверим возможность приварки ребра к стенке стержня колонны. В соответствии с рис. 4.21,б [2] при размерах с = 131 мм < 400 мм и а = 210 мм сварка возможна, если 2с ≥ а. В нашем случае 2с = 2∙ 131 = 262 мм > 210 мм, то есть приварка возможна.

1. Определим толщину опорной плиты.

Участок 1. b / a = 210 / 131 = 1,6 → β = 0,128;

M₁ = β∙ σ_b∙ a² = 0,128∙ 0,896∙ 13,1² = 19,68 кН∙см.

Участок 2. M₂ = σ_b∙ c² / 2 = 0,896∙ 7,9² / 2 = 27,96 кН∙см.

Момент на участке 2 значительно превышает момент на участке 1.

С целью выравнивания изгибающих моментов на участках пересмотрим габаритные размеры плиты, принимая во внимание то, что возможности приварки ребра к колонне позволяют это сделать.

Примем размеры плиты 440 х 400 мм. Тогда A_pl = 44∙ 40 = 1760 см² и σ_b^* = = N / A_pl = 1580 / 1760 = 0,898 кН/cм² < σ_b,loc = 0,9 кН/см².

Участок 1^*. b / a = 220 / 131 = 1,68 → β = 0,1288;

M₁ = β∙ σ_b∙ a² = 0,1288∙ 0,898∙ 13,1² = 19,85 кН∙см.

Участок 2*. M₂ = σ_b∙ c² / 2 = 0,898∙ 6,9² / 2 = 21,38 кН∙см.

Требуемая толщина опорной плиты

t_pl = √ 6M_max / (R_y∙ γ_c) = √ 6∙ 21,38 / (24∙ 1,0) = 2,31 см.

Примем t_pl = 24 мм.

2. Расчет швов, прикрепляющих ребра к колонне.

А) Ребро, приваренное к стенке колонны.

Погонная нагрузка на ребро составит

q_r,1 = σ_b∙ a = 0,898∙ 13,1 = 11,76 кН/см.

Изгибающий момент и поперечная сила в сечении у места приварки:

M_r,1 = q_r,1∙ b² / 2 = 11,76∙ 22² / 2 = 2845,92 кН∙см;

Q_r,1 = q_r,1∙ b = 11,76∙ 22 = 258,72 кН.

Определим требуемую высоту ребра из условия восприятия им изгибающего момента, приняв толщину ребра t_r = 10 мм:

W_{r1, req} = M_r,1 / (R_y∙ γ_c) = 2845,92 / (24∙ 1,0) = 118,58 см³;

h_{r1, req} = √ 6∙ W_{r1, req} / t_r = √ 6∙ 118,58 / 1,0 = 26,67 см.

Учитывая, что кроме изгибающего момента ребро воспринимает также поперечную силу, примем высоту ребра h_r1 = 310 мм.

Проверим прочность сварных швов на срез, приняв катет шва k_f = 10 мм:

- по металлу шва

τ_w = √ {6 M_r,1 / [β_f∙ κ_f∙2∙(h_r1 – 1 см )²}² +

+ { Q_r,1 / [ β_f∙∙κ_f∙2∙∙(h_r1 – 1 см )}² =

= √ {6∙ 2845,92 / [0,7∙ 1,0∙ 2∙ (31 – 1)²}² + {258,72 / [0,7∙ 1,0∙ (31 - 1)}² =

= 14,88 кН/cм² < R_wf∙ γ_wf∙ γ_c = 18∙ 0,85∙1,0 = 15,3 кН/cм² ;

- по металлу границы сплавления

τ_w = √ {6 M_r,1 / [β_я∙ κ_f∙2∙(h_r1 – 1 см )²}² +

+ { Q_r,1 / [ β_я∙∙κ_f∙2∙∙(h_r1 – 1 см )}² =

= √ {6∙ 2845,92 / [1,0∙ 1,0∙ 2∙ (31 – 1)²}² + {258,72 / [1,0∙ 1,0∙ (31 - 1)}² =

= 10,43 кН/cм² < R_wя∙ γ_wя∙ γ_c = 0,45∙ 37∙ 0,85∙1,0 = 15,3 кН/cм² .

Прочность швов обеспечена.

Б) Ребра, приваренные к полкам стержня колонны.

Погонная нагрузка на ребро составит

q_r,2 = σ_b∙(L/2 – b_f / 2) = 0,898∙ (44 / 2 – 26 / 2) = 8,1 кН/см.

Изгибающий момент и поперечная сила в сечении, где ребро приваривается к полке двутавра:

M_r,2 = q_r,2∙ с² / 2 = 8,1∙ 9² / 2 = 328,1 кН∙см;

Q_r,2 = q_r,2∙ с = 8,1∙ 9 = 72,9 кН.

Требуемая высота ребра из условия восприятия им изгибающего момента при толщине ребра t_r = 10 мм:

W_{r2, req} = M_r,2 / (R_y∙ γ_c) = 328,1 / (24∙ 1,0) = 13,67 см³;

h_{r2, req} = √ 6∙ W_{r2, req} / t_r = √ 6∙ 13,67 / 1,0 = 9,1 см.

Примем высоту ребра h_r2 = 120 мм.

Проверим прочность швов на срез по металлу шва:

τ_w == √ {6∙ 328,1 / [0,7∙ 1,0∙ 2∙ (12 – 1)²}² + {72,9 / [0,7∙ 1,0∙ (12 - 1)}² =

= 12,55 кН/cм² < R_wf∙ γ_wf∙ γ_c = 18∙ 0,85∙1,0 = 15,3 кН/cм² ;

Прочность швов обеспечена.

3. Уменьшить изгибающий момент на консольном участке 2 можно путем постановки дополнительного ребра, которое разделит этот участок пополам. Вновь образованный таким путем участок 3 можно рассматривать как плиту, опертую на два канта.

Определим размеры a и b этого участка:

а = √6,9^{2 +} 22² = 23,1 см; A = 1/2∙ b∙ a; b = 2A / a = 2∙ 6,9∙22 /(2∙ 23,1) = 6,57 см;

b / a = 6,57 / 23,1 = 0,28 < 0,5.

В этом случае изгибающий момент определяется как для консоли длиной b:

M₃ = 0,898∙ 6,57² / 2 = 19,38 кН∙ см.

На участке 1 момент больше. Тогда

t_pl,req = √ 6∙ 19,85 / (24∙ 1,0) = 2,23 см.

Итак, получаем, что необходимая толщина плиты составит t_pl = 24 мм, т.е. постановка ребра на участке 2 не приводит к экономии стали.