- •Содержание
- •Введение
- •Перечень основных условных обозначений
- •Правила выполнения и оформления заданий
- •Часть 1. Внутренние силовые факторы и их эпюры
- •1.1. Общие положения
- •1.3. Кручение бруса
- •1.4. Прямой поперечный изгиб балки
- •1.5. Плоская стержневая система
- •2.1. Общие положения
- •2.2. Растяжение (сжатие) бруса
- •2.3. Геометрические характеристики плоских сечений
- •2.4. Кручение бруса
- •2.6. Расчет на жесткость при изгибе балки
- •Часть 4. Сложное сопротивление бруса
- •4.1. Косой изгиб
- •4.2. Изгиб с кручением
- •Часть 5. Устойчивость сжатого стержня
- •Список литературы
1.5. Плоская стержневая система
Стержневой системой называется конструкция (или ее расчетная схема), состоящая из структурных элементов типа стержня. Стержневая система называется плоской, если оси всех составляющих ее стержней расположены в одной плоскости. В этой же плоскости действуют внешние силы и реакции опор.
Для равновесия плоской стержневой системы на нее должны быть наложены три связи, например, с использованием неподвижной и подвижной шарнирных опор. Для стержневой системы, расположенной в плоскости yOz, реакции опор могут быть найдены с использованием трех уравнений равновесия
ΣPy = 0, ΣPz = 0, ΣMA = 0 .
Затем определяют внутренние силовые факторы в стержнях системы. В общем случае в каждом из стержней могут возникать продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент M. Поэтому для плоской стержневой системы строят эпюры продольной силы ЭN, поперечной силы ЭQ и изгибающего момента ЭM.
Правила знаков для действующих внутренних силовых факторов определены в соответствующих разделах 1.1 и 1.3.
Пример 5
Для плоской стержневой системы, показанной на рисунке 1.10, нагруженной сосредоточенными внешними силами, построить эпюры внутренних силовых факторов — продольной силы N, поперечной силы Q и изгибающего момента M. Размеры участков стержневой системы и величины действующих сосредоточенных сил приведены в таблице 1.9.
Решение
1. Изображаем реальную схему задачи с учетом длин участков стержневой системы, величин и направлений действующих сил в соответствии с данными таблицы 1.9 и задаемся системой координат yOz (рисунок 1.11, а).
31
P1 P2
l |
l1 |
l2 |
l |
Рисунок 1.10
Таблица 1.9
l1 |
l2 |
P1 |
P2 |
2l |
2l |
–3P |
P |
|
|
|
|
2. Определяем реакции опор RzA, RyA, RyB, используя уравнения равновесия (рисунок 1.11, б):
ΣPz = −3P + RzA = 0, ΣPy = RyА + RyB − P = 0,
ΣMA = −RyB 2l + 3P 2l + P l = 0.
Решив систему уравнений, получаем значения реакций:
RzA = 3P, RyA = −2,5P, RyB = 3,5P .
3.Стержневая система имеет четыре участка. Для построения эпюр внутренних силовых факторов используем метод сечений. Необходимо определить продольную силу N, попереч- ную силу Q и изгибающий момент M в 8 сечениях, расположенных в начале и в конце каждого из участков (рисунок 1.11, в).
Схемы равновесия отсеченной части, уравнения равновесия и полученные значения внутренних силовых факторов по сечениям приведены в таблице 1.10.
4.По полученным данным с учетом соответствующих правил знаков строим эпюры продольной силы ЭN, поперечной силы ЭQ и изгибающего момента ЭM в стержневой системе (рисунок 1.11, г, д, е).
32
3P |
P |
|
|
||
|
|
|
l |
2l |
|
y |
|
2l |
|
|
|
O |
z |
l |
|
|
|
|
à |
|
|
P |
|
3,5P I |
II III |
IV |
3P |
|
V |
|
|
2,5P |
|
3P |
VI |
|
VIII |
VII |
â
3P |
|
RyB |
P |
|
|||
|
|
|
|
B l |
3 |
||
y |
2l |
O z RyA l
RzA A
á
3P
+
ÝN 2,5P +
3P –
ã
3,5P |
2,5P |
8,5Pl |
|
||
|
3,5Pl |
|
|
|
|
+ |
|
|
3P |
– |
ÝM |
ÝQ |
|
|
2,5P |
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5Pl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ä |
|
|
|
|
|
|
|
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1.11
33
Таблица 1.10
Сечение |
|
Схема равновесия отсеченной части, уравнения |
|||||||||||||||||||||
равновесия и величины внутренних силовых факторов |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,5P |
|
|
|
QI |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3P |
|
|
|
|
|
NI |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MI |
|
|
|||||||||||
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ΣP = −3P + NI = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NI = 3P, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ΣPy |
= 3,5P + QI |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
QI = –3,5P, |
||||
|
ΣMA = MI = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MI = 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,5P |
|
|
QII |
|
A |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3P |
|
|
|
|
|
|
|
|
NII |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MII |
|
|
|||||||
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ΣP = −3P + NII = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NII = 3P, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ΣPy |
= 3,5P + QII |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
QII = –3,5P, |
||||
|
ΣMA = −3,5P l + MII |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MII = 3,5Pl |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,5P |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
QIII |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NIII |
|||||||
III |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MIII |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ΣPz |
= −3P + NIII |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NIII = 3P, |
||||
|
ΣPy |
= 3,5P − P + QIII = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
QIII = –2,5P, |
||||||||||
|
ΣMA = −3,5P l + MIII = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MIII = 3,5Pl |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,5P |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
QIV |
|
A |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NIV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MIV |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
IV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ΣPz = −3P + NIV = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NIV = 3P, |
|||||||||
|
ΣPy |
= 3,5P − P + QIV = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
QIV = –2,5P, |
||||||||||
|
ΣMA = −3,5P 3l + P 2l + MIV = 0 |
|
MIV = 8,5Pl |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение таблицы 1.10 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сечение |
|
Схема равновесия отсеченной части, уравнения |
||||||||||||||||||||||
равновесия и величины внутренних силовых факторов |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,5P |
|
|
P |
|
|
|
QV |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3P |
|
|
|
|
|
|
MV |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NV |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ΣPz |
= −3P + QV = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NV = –2,5P, |
||||||||
|
ΣPy |
= 3,5P − P + NV = 0, |
|
|
QV = 3P, |
|||||||||||||||||||
|
ΣMA = −3,5P 3l + P 2l + MV = 0 |
|
|
MV = 8,5Pl |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,5P |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MVI |
|
QVI |
|||||
VI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NVI |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ΣPz |
= −3P+QVI = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
NVI = –2,5P, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ΣPy = 3,5P− P+ NVI = 0, |
|
|
QVI = 3P, |
||||||||||||||||||||
|
ΣMA = −3,5P 3l +3P 2l + P 2l + MVI = 0 |
MVI = 2,5Pl |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,5P |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
QVII |
|
|
|
|||
VII |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NVII |
|
MVII |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ΣPz |
= −3P+ NVII = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NVII = 3P, |
||||||||
|
ΣPy = 3,5P− P+QVII |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
QVII = –2,5P, |
|||||||||
|
ΣMA = −3,5P 3l +3P 2l + P 2l + MVII = 0 |
MVII = 2,5Pl |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
|
Окончание таблицы 1.10 |
|
|
Сечение |
Схема равновесия отсеченной части, уравнения |
равновесия и величины внутренних силовых факторов |
3,5P |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3P |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
QVIII |
|
VIII |
|
|
|
|
A |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
NVIII |
|
|
MVIII |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ΣPz = −3P+ NVIII = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
NVIII = 3P, |
|||
ΣPy = 3,5P− P+QVIII |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
QVIII = –2,5P, |
|||
ΣMA = −3,5P 2l + P l +3P 2l + MVIII = 0 |
MVIII = 0 |
36