Типовой расчет: Определенные интегралы

Задание 1. Найти среднее значение квадрата электродвижущей силы в интервале отдо, если электродвижущая сила вычисляется по формуле

,

где Т- продолжительность периода в секундах, Е – амплитуда (максимальное значение) электродвижущей силы.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35.

Задание 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

1. а) ,

б) ,,,

2. а) ,

б) ,,

3. а) ,

б) ,,,,

4. а) ,

б) ,,

5. а) ,

б) ,,

6. а) ,

б) ,,

7. а) ,

б) ,,,

8. а) ,

б) ,,

9. а) ,

б) ,,

10. а) ,

б) ,,

11. а),

б) ,

12. а),

б) ,

13. а),

б),

14. а),

б) ,

15. а),

б) ,,

16. а) ,

б) ,,,,

17. а) ,

б) ,

18. ,

б) ,

19. а) ,

б) ,

20. а) ,

б) ,

21. а) ,

б) ,

22. а) ,

б) ,,

23. а),

б) ,

24. а) ,

б) ,

25. а) ,

б) ,

26. а) ,

б) ,

27. а) ,

б) ,,

28. а),

б) ,,

29. а) ,

б) ,,

30. а) ,

б) ,

26. а) ,

б) ,

27. а) ,

б) ,,

28. а),

б) ,,

29. а) ,

б) ,,

30. а) ,

б) ,

Задание 3*. Вычислить (до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Задание 4. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

25. 26. 27. 28. 29. 30.

Задание 5.

1. Скорость движения пропорциональна квадрату времени и в конце четвертой секунды равна 1 см/с. Чему равен путь, пройденный за первые 10с?

2. Скорость движения пропорциональна кубу времени и в конце пятой секунды равна 2 см/с. Чему равен путь, пройденный за первые восемь секунд?

3. Известно, что сила, противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению её (закон Гука). Растягивая пружину на 4 см, произвели работу в 100 Дж. Какая работа будет произведена при растягивании пружины на 10 см?

4. Известно, что сила, противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению её (закон Гука). Растягивая пружину на 3 см, произвели работу в 50 Дж. Какая работа будет произведена при растяжении пружины на 5 см?

5. Известно, что сила, противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению её (закон Гука). Чтобы растянуть пружину на 2 см, нужно произвести работу в 20 Дж. Насколько можно растянуть пружину, затратив работу в 80 Дж?

6. Известно, что сила, противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению её (закон Гука). Чтобы растянуть пружину на 3 см, нужно произвести работу в 40 Дж. Насколько можно растянуть пружину, затратив работу в 60 Дж?

7. Скорость нагревания тела пропорциональна квадрату времени и в конце пятой секунды равна 8⁰С. На сколько градусов нагреется тело от момента T₀=3с до момента T₁=10с?

8. Скорость нагревания тела пропорциональна квадрату времени и в конце третей секунды равна 10⁰С. На сколько градусов нагреется тело от момента T₀=2с до момента T₁=4с?

9. Скорость охлаждения тела пропорциональна e^-2t и в конце третей секунды равна 2⁰С. На сколько градусов охладится тело от момента T₀=1с до момента T₁=3с?

10. Скорость охлаждения тела пропорциональна e^-3t и в конце второй секунды равна 3⁰С. На сколько градусов охладится тело от момента T₀=1с до момента T₁=3с?

11. Переменный ток i пропорционален и в конце второй секунды равен 3A. Какое количество электричества протечет через поперечное сечение проводника за промежуток времени от t₁=1с до t₂=3с?

12. Переменный ток i пропорционален и в конце третей секунды равен 4A. Какое количество электричества протечет через поперечное сечение проводника за промежуток времени от t₁=1с до t₂=2с?

13. Переменный ток i пропорционален и в конце первой секунды равен 2A. Какое количество электричества протечет через поперечное сечение проводника за промежуток времени от t₁=0.5с до t₂=1.5с?

14. Электрическая цепь питается батареей аккумуляторов. В течении 10 мин напряжение на клеммах равномерно падает от E₀=60B до E=40B. Сопротивление цепи R=20 Ом. Найти количество электричества, протекшее через цепь за 10 мин.

15. Электрическая цепь питается батареей аккумуляторов. В течении 5 мин напряжение на клеммах равномерно падает от E₀=40B до E=30B. Сопротивление цепи R=10 Ом. Найти количество электричества, протекшее через цепь за 5 мин.

16. Электрическая цепь питается батареей аккумуляторов. В течении 10 мин напряжение на клеммах равномерно падает от E₀=30B до E=10B. Сопротивление цепи R=20 Ом. Найти количество электричества, протекшее через цепь за 10 мин.

17. Напряжение электрической цепи равномерно падает, уменьшаясь на 1.5 В в минуту. Первоначальное напряжение цепи E₀=120 В, сопротивление цепи R=60 Ом. Найти работу тока за 5 мин. Индуктивностью и емкостью пренебрегаем.

18. Напряжение электрической цепи равномерно падает, уменьшаясь на 2.5 В в минуту. Первоначальное напряжение цепи E₀=60 В, сопротивление цепи R=30 Ом. Найти работу тока за 10 мин. Индуктивностью и емкостью пренебрегаем.

19. Напряжение электрической цепи равномерно падает, уменьшаясь на 2 В в минуту. Первоначальное напряжение цепи E₀=90 В, сопротивление цепи R=20 Ом. Найти работу тока за 15 мин. Индуктивностью и емкостью пренебрегаем.

20. В цепь равномерно вводится напряжение. По истечении минуты напряжение достигает 120 В. Сопротивление цепи равно 100 Ом. Индуктивностью и емкостью пренебрегаем. Найти работу тока в течении одной минуты.

21. В цепь равномерно вводится напряжение. В начале опыта напряжение равно нулю. По истечении минуты напряжение достигает 90 В. Сопротивление цепи равно 80 Ом. Индуктивностью и емкостью пренебрегаем. Найти работу тока в течении двух минут.

22. В цепь равномерно вводится напряжение. В начале опыта напряжение равно нулю. По истечении минуты напряжение достигает 80 В. Сопротивление цепи равно 100 Ом. Индуктивностью и емкостью пренебрегаем. Найти работу тока в течении одной минуты.

23. Вычислить работу, которую необходимо затратить для того, чтобы выкачать воду, наполняющую цилиндрический резервуар высотой H=5 м, имеющий в основании круг радиуса R=3 м. Ускорение свободного падения g положить равным 10 м/с².

24. Вычислить работу, которую необходимо затратить для того, чтобы выкачать воду, наполняющую цилиндрический резервуар высотой H=3 м, имеющий в основании круг радиуса R=2 м. Ускорение свободного падения g положить равным 10 м/с².

25. Вычислить работу, которую необходимо затратить для того, чтобы выкачать воду, наполняющую цилиндрический резервуар высотой H=4 м, имеющий в основании круг радиуса R=3 м. Ускорение свободного падения g положить равным 10 м/с².

26. Скорость движения пропорциональна четвертой степени времени и в конце второй секунды равна 4 см/с. Чему равен путь, пройденный за первые 3 секунды?

27. Известно, что сила, противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению её (закон Гука). Растягивая пружину на 3 см, произвели работу в 80 Дж. Какая работа будет произведена при растяжении пружины на 5 см?

28. Скорость нагревания тела пропорциональна четвертой степени времени и в конце второй секунды равна 10⁰С. На сколько градусов нагреется тело от момента T₀=1с до момента T₁=3с?

29. Скорость охлаждения тела пропорциональна e^-2t квадрату времени и в конце четвертой секунды равна 3⁰С. На сколько градусов нагреется тело от момента T₀=2с до момента T₁=4с?

30. Переменный ток i пропорционален и в конце второй секунды равен 2A. Какое количество электричества протечет через поперечное сечение проводника за промежуток времени от t₁=1с до t₂=2с?

31. Скорость движения пропорциональна четвертой степени времени и в конце второй секунды равна 4 см/с. Чему равен путь, пройденный за первые 3 секунды?

32. Известно, что сила, противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению её (закон Гука). Растягивая пружину на 3 см, произвели работу в 80 Дж. Какая работа будет произведена при растяжении пружины на 5 см?

33. Скорость нагревания тела пропорциональна четвертой степени времени и в конце второй секунды равна 10⁰С. На сколько градусов нагреется тело от момента T₀=1с до момента T₁=3с?

34. Скорость охлаждения тела пропорциональна e^-2t квадрату времени и в конце четвертой секунды равна 3⁰С. На сколько градусов нагреется тело от момента T₀=2с до момента T₁=4с?

35. Переменный ток i пропорционален и в конце второй секунды равен 2A. Какое количество электричества протечет через поперечное сечение проводника за промежуток времени от t₁=1с до t₂=2с?