Множества

Множество - это набор несовпадающих объектов. Объекты обозначаются своими именами и называются элементами множества. Если множество содержит конечное число элементов, то его можно задать простым перечислением имен объектов.

Задать множество простым перечислением можно, когда оно содержит конечное число элементов. Для задания бесконечных множеств используется некоторое общее свойство, которым должен обладать объект, чтобы стать элементом данного множества. Такое общее свойство записывают в виде утверждения (предиката), содержащего одну или несколько переменных. Предикат может принимать одно из двух значений - истина или ложь. В этом случае множество состоит из тех элементов, для которых предикат истинен. Выбирать предикат необходимо осторожно, поскольку может оказаться, что определяемое множество не существует (парадокс Рассела). Примером бесконечного множества может служить множество , содержащее целые числа. -простое числоПеременная , принимает значения из заданного множества и может быть целым числом.

Может оказаться так, что множество не имеет ни одного элемента (предикат принимает значения ложь для всех значений переменных). Такое множество называют пустым множеством и обозначают или . Множества могут быть элементами других множеств, которые называют системами множеств и обозначают , где

Говорят, что множество содержится в множестве и пишут , если каждый элементмножества является элементом множества . В этом случае множество называют подмножеством множества . Если существует элемент , который не принадлежит , то множество не является подмножеством множества , что записывают в виде . Следует отметить, что пустое множество содержится в любых других множествах , .

Два множества и называются равными , если и .

Таким образом, множества и являются равными, если они совпадают или другими словами содержат одни и те же элементы.

Из множеств при помощи определенных операций можно образовывать новые множества. К основным операциям над множествами относятся объединение , пересечение , вычитание , дополнение . Предположим, что и подмножества некоторого универсального множества и . Тогда основные операции можно определить следующим образом:

или - объединение множеств, состоит из всех элементов, принадлежащих, по крайней мере одному из множеств или ;

и - пересечение множеств, состоит из всех элементов, относящихся одновременно к обоим множествам и ;

,но - вычитание множеств, содержит все элементы множества , которые не являются элементами множества ;

или дополнение, охватывает все те элементы множества , которые не являются элементами множества .

Для любых множеств выполняются следующие законы [2]:

1) Ассоциативный закон:

2) Коммутативный закон:

3) Закон о дополнении:

4) Закон идемпотенции:

5) Закон эквивалентности:

6) Закон существования пустого множества:

7) Закон инволюции:

8) Закон Моргана:

9) Дистрибутивный закон:

Поскольку операции объединения и пересечения множеств ассоциативны, их можно применять для последовательности множеств . или

или . Особое место среди операций над множествами занимает прямое (декартово) произведение множеств. Под произведением множеств и , обозначаемым через , понимают множество , состоящее из упорядоченных пар объектов. Первый объект пары является элементом множества , второй - элементом множества

Отметим, что в общем случае , но . Аналогично можно определить произведение трех и более множеств.

В частности можно рассматривать произведение одинаковых множеств

Любое подмножество множества есть отношение, при этом множество называют областью определения, а множество - областью значений. Область определения и область значений могут быть одним и тем же множеством. Если отношение из в и, то пишут .

Отношение на множестве называют: рефлексивным , если выполняется для всех ; симметричным , если из всегда следует ; транзитивным , если из и всегда следует .( отношения эквивалентности)

Функция(отображение) есть отношение, определенное на множестве и представляющее собой множество пар , где и , причем, если и , то . Такие функции называют однозначными. Если функция определена на всех элементах множества , то ее называют полной. Полная функция будет взаимно однозначной , если из того, что и следует, что . Между множествами и может быть установлено взаимно однозначное соответствие, если существует полная взаимно однозначная функция .