3.2. Метод парных сравнений.

Опишу метод парных сравнений (точнее модификацию по Т. Саати).

В данной модификации, как и в классическом варианте метода парных сравнений, производится сравнение изучаемых факторов между собой. Причем в данном методе факторы сравниваются попарно по отношению к их воздействию («весу», или «интенсивности») на общую для них характеристику.

Пусть в конкретной задаче необходимо определить состав некоторого объекта. Причем пусть A1, A2, ..., An основные факторы, определяющие состав объекта. Тогда для определения структуры объекта заполняется матрица парных сравнений (рис. 3.1).

	A1	A2	...	An
A1	1	a12		a1n
A2	a21	1		a2n
...			...
An	an1	an2		1

Рис 3.1 Общий вид матрицы парных сравнений

Если обозначить долю фактора Ai через w_i, то элемент матрицы a_ij = w_i/w_j.

Таким образом, в предлагаемом варианте применения метода парных сравнений, определяются не величины разностей значений факторов, а их отношение. При этом очевидно a_ij = 1/a_ji. Следовательно, матрица парных сравнений в данном случае является положительно определенной, обратносимметрической матрицей, имеющей ранг равный 1. Работа экспертов состоит в том, что, производя попарное сравнение факторов A1, ..., An, эксперт заполняет таблицу парных сравнений. Важно понять, что если w₁, w₂, ..., w_n неизвестны заранее, то попарные сравнения элементов производятся с использованием субъективных суждений, численно оцениваемых по шкале, а затем решается проблема нахождения компонента w.

В подобной постановке задачи решение проблемы состоит в отыскании вектора (w₁, w₂, ..., w_n). Существует несколько различных способов вычисления искомого вектора. Каждый из методов позволяет кроме непосредственного нахождения вектора отвечать еще на некоторые дополнительные вопросы. Подробнее об этом написано ниже. Эксперт, сравнивая n факторов, реально проводит не n (как это происходит при заполнении обычных анкет) сравнений, а n*(n-1)/2 сравнений. Но это еще не все. На самом деле (учитывая соотношение a_ij=a_ik*a_kj справедливое для всех значений индекса k) производится опосредованное сравнение факторов Ai и Aj через соответствующие сравнения этих факторов с фактором Ak. Принимая во внимание сделанное замечание можно утверждать, что в действительности эксперт производит значительно больше сравнений, чем даже показывает первая оценка, равная n*(n-1)/2 [19]. Таким образом, каждая клетка матрицы парных сравнений реально содержит не одно число (результат непосредственного сравнения), а целый вектор (с учетом всех опосредованных сравнений через сравнения с другими факторами). Учет этих дополнительных сравнений позволяет значительно повысить надежность получаемых результатов, или позволяет значительно уменьшить количество необходимых экспертов.

Один из основных методов отыскания вектора w основывается на том, что искомый вектор является собственным вектором матрицы парных сравнений, соответствующим максимальному собственному числу (). В этом случае по одному из большого количества существующих алгоритмов отыскивается, а затем решается векторное уравнение A*w =*w. Здесь необходимо отметить следующее. Из линейной алгебры известно, что у положительно определенной, обратносимметрической матрицы, имеющей ранг, равный 1, максимальное собственное число равно размерности этой матрицы (т.е. n). При проведении сравнений в реальной ситуации вычисленное максимальное собственное числобудет отличаться от соответствующего собственного числа для идеальной матрицы. Это различие характеризует так называемуюрассогласованность реальной матрицы. И, соответственно, характеризует уровень доверия к полученным результатам. Чем больше это отличие, тем меньше доверие. Таким образом, эта модификация метода парных сравнений содержит внутренние инструменты позволяющие определить качество обрабатываемых данных и степень доверия к ним [19]. Эта особенность данной методики выгодно отличает его от большинства обычно применяемых методов.

Другой подход в определении вектора w состоит в следующем. Суммируются по строкам элементы матрицы парных сравнений (для каждого значения i вычисляется сумма a_i=a_i1+ a_i2+...+ a_in). Затем все a_i нормируются так, чтобы их сумма была равна 1. В результате получаем искомый вектор w. Таким образом, w_i=a_i/(a₁+ a₂+...+ a_n).

Этот способ нахождения вектора w, значительно проще в реализации, но он не позволяет определять качество исходных данных. Приведенное выше описание метода является разработкой собственно Т. Саати и его группы. При всех его достоинствах данная версия не лишена некоторых недостатков. Как уже отмечалось, рассматриваемая версия метода парных сравнений, позволяет определить качество исходных данных. Причем Саати рекомендует при плохо согласованной матрице либо сменить экспертов, либо найти дополнительные данные, либо решать проблему другим методом. Эта возможность является серьезным достоинством данного метода.

Для проведения субъективных парных сравнений Т. Саати была разработана шкала относительной важности. 

Таблица 3.1

Шкала относительной важности

Интенсивность относительной важности	Объяснение
0 (Несравнимы)	Эксперт затрудняется в сравнении
1 (Равная важность)	Равный вклад двух видов деятельности в цель
3 (Умеренное превосходство одного над другим)	Опыт и суждения дают легкое превосходство одному виду деятельности над другим
5 (Существенное или сильное превосходство)	Опыт и суждения дают сильное превосходство одному виду деятельности над другим
7 (Значительное превосходство)	Одному из видов деятельности дается настолько сильное превосходство, что оно становится практически значительным
9 (Очень сильное превосходство)	Очевидность превосходства одного вида деятельности над другим подтверждается наиболее сильно
2,4,6,8 (Промежуточные решения между двумя соседними суждениями)	Применяются в компромиссном случае
Обратные величины приведенных выше чисел	Если при сравнении одного вида деятельности с другим получено одно из вышеуказанных чисел (например, 3), то при сравнении второго вида деятельности с первым получим обратную величину (т.е. 1/3)

Выбор шкалы определялся следующими требованиями:

1. Шкала должна давать возможность улавливать разницу в чувствах людей, когда они проводят сравнения, различать как можно больше оттенков чувств, которые имеют люди.

2. Эксперт должен быть уверенным во всех градациях своих суждений одновременно.

Как показывают работы автора Т. Саати по сравнению этой шкалы с 28 другими шкалами, предложенными разными лицами, эта шкала и ее незначительные модификации лучше, чем все другие шкалы.

Хочется к этому добавить, что данный метод парных сравнений и данная шкала чрезвычайно хорошо приспособлены к особенностям обработки информации человеком.