Запишем для каждого из тел второй закон Ньютона в его наиболее общей форме.
|
dp1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
F |
F |
F |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
dt |
12 |
13 |
1n |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
F |
F |
F |
|
F |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dt |
21 |
23 |
2n |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
- - - - - - - - - - |
|
|
|
|
|
|
|
|
- - - - - - - - - - - - |
|
|
|
|
||
|
dpn |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F |
F F |
|
F |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
dt |
n1 |
n2 |
n 1,n |
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Просуммируем левые и правые части равенств.
По третьему закону Ньютона сумма всех внутренних сил равна нулю, поскольку они попарно равны по модулю и противоположны по направлению.
При сложении равенств получим следующее выражение:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
p2 |
pn F1 |
F2 |
Fn |
|
|
dt |
||||||
Векторная сумма импульсов всех тел называется импульсом системы:
p1 p2 pn p
Векторная сумма действующих на систему сил есть
F1 F2 Fn Fвнеш.
Тогда можно переписать |
|
|
|
dP |
|
||
|
|||
|
F |
||
|
dt |
внеш. |
|
|
|
Производная от полного импульса системы равна равнодействующей всех приложенных к телам системы внешних сил.
Внезамкнутой системе тел скорость изменения импульса системы равна равнодействующей внешних сил (закон сохранения импульса для незамкнутой системы тел).
Если система замкнута, то Fвнеш. 0
Тогда |
dp |
0 |
|
dt |
|
P const
Формулировка закона сохранения импульса:
результирующий импульс замкнутой системы тел сохраняется.
Естественно, что при этом остается постоянной и сумма проекций импульсов тел системы на любую координатную ось.
На практике достаточно часто приходится иметь дело со взаимодействием тел в условиях, когда действием внешних сил пренебречь нельзя (система не замкнута).
Втаких случаях можно найти такое направление (координатную ось Х), на которое внешние силы имеют нулевые проекции.
Тогда будет оставаться постоянной не векторная сумма импульсов всех тел системы, а сумма проекций импульсов на данную координатную ось.
PX = const.
Сзаконом сохранения импульса связаны такие понятия как^
-реактивное движение;
-отдача.
5.3. Закон сохранения момента импульса
Рассмотрим систему из n тел (или материальных точек), взаимодействующих как между собой, так и с внешними телами.
Выберем точку О, относительно которой будем отсчитывать моменты импульсов частиц и моменты сил, приложенных к ним.
F1
F2
1 |
F12 |
F21 |
2 |
|
|
F2n
О |
F n |
Fn2 |
|
Fn |
Изменение момента импульса каждой из частиц системы обусловлено действием моментов внутренних и внешних сил.
Согласно закону изменения момента импульса имеем:
|
dL1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
12 |
M |
13 |
M |
1n |
M |
1 |
|
|
dt |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dL2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
M 21 |
M 23 |
M 2n |
M 2 |
|||||
|
dt |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dLn |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
M n1 |
M n2 |
M n 1,n M n |
||||||
|
dt |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mi j |
– моменты внутренних сил, действующих между |
|
i-ой и |
j-ой частицами ; |
|
Mi |
– моменты внешних сил, действующих на i- ую |
|
частицу. |
||
|
Сложим левые и правые части равенств:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
L2 |
Ln M1 |
M2 |
Mn |
||
|
dt |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|