Момент импульса всего тела относительно точки О равен векторной сумме моментов импульсов всех его материальных точек:
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
L Li |
mi (ri |
vi ) |
|||
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
Заметим, что все точки твёрдого тела движутся по своим окружностям с разными линейными скоростями, но с одинаковой угловой скоростью.
Vi ri
Далее заметим, что момент инерции тела J равен алгебраической сумме моментов инерции всех его материальных точек Ji .
n |
|
|
J Ji |
|
|
Ji mi ri2 |
||
i 1 |
|
|
|
Окончательно получим простое выражение:
|
Lz J ω |
L J |
Момент импульса твёрдого тела относительно закреплённой оси равен произведению момента инерции этого тела относительно данной оси на угловую скорость вращения.
3.4. Основной закон динамики вращательного движения
Пусть твёрдое тело вращается вокруг закреплённой оси под действием внутренних и внешних сил.
Разобьём тело на материальные точки.
Момент импульса материальной точки относительно оси вращения определяется выражением:
LZ (r p)Z
Выясним, от чего зависит изменение момента импульса материальной точки.
Вычислим производную от вектора момента импульса по времени.
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
dL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(r |
p) |
|
|
|
m(r |
v) |
|
||||
dt |
dt |
dt |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
m( |
dr |
|
|
dv |
) |
|
|
||||||||
|
|
v) m(r |
|
|
|
||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||||
m(v v) m(r |
a) 0 (r |
F) M |
|||||||||||||
dL |
|
dL |
z |
|
|
M и |
|
Mz |
|
dt |
dt |
|
||
|
|
|
Формулировка основного закона вращательного
движения: скорость изменения момента импульса материальной точки равна моменту сил, действующих на эту точку.
Другая формулировка: изменение момента импульса
материальной точки равно импульсу момента приложенной силы.
|
|
|
dL M dt |
|
|
|
L M t |
|
|
|
|
Запишем такие же выражения для каждой точки вращающегося тела, а затем просуммируем по всем точкам тела:
|
dLzi Mzi |
|
|
d Lzi Mzi |
|||
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dt i 1 |
i 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dLz |
n |
n |
|
Mzi внутр. Mzi внеш. |
||
|
|
||
|
dt i 1 |
i 1 |
|
Впоследнем равенстве Lz – момент импульса тела относительно оси Z.
n
Mziвнутр. 0 i 1
– сумма моментов внутренних сил равна нулю.
n
Mziвнеш. MZi,ВНЕШ i 1
– сумма моментов внешних сил отлична от нуля.
Тогда для всего тела в целом имеем равенство:
dL
dtz Mz внеш.
dL
dtz Mz внеш.
Полученное равенство выражает наиболее общую запись основного закона динамики
вращательного движения: скорость изменения момента импульса твёрдого тела относительно оси вращения равна результирующему моменту внешних сил, действующих на это тело относительно этой же оси.
Учтем, что |
Lz J ω |
|
|
|
|
Момент инерции J твердого тела – постоянная величина. Вынесем её за знак дифференциала:
dtd J ω Mz внеш. 
J dωdt M z внеш.
Обозначим
dωdt ε z
εz – проекция вектора углового ускорения на ось Z, который направлен по вектору угловой скорости.
Окончательно получим выражение: J εz Mz внеш.
J εz Mz внеш.
Равенство, записанное для проекций входящих величин, можно записать и для модулей и для векторов этих
величин: |
|
|
|
|
|
|
|
|
M внеш. |
|
|
|
M |
внеш. |
|
||
|
|
|
||||||
|
ε |
J |
|
ε |
|
|
||
|
|
|
|
J |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Другая формулировка основного закона динамики
вращательного движения закона:
угловое ускорение твёрдого тела при его вращении вокруг закреплённой оси прямо пропорционально результирующему моменту внешних сил относительно этой же оси и обратно
пропорционально моменту инерции тела.